Аналог теоремы Вейштрасса

antalsin

в н-мерном пространстве?

roman1606

какой из них?

antalsin

Ту что говорит об необх. и дост. условии компактности последовательности векторов конечномерного евклидова пространства.

antalsin

зы. последовательность компактна если из любой ее ограниченной подпоследовательности можно выделить сходящуюся подподпоследовательность (в случае с R - это обычная теорема Больцано-Вейершрасса)

griz_a

Я думаю, последовательность компактна, если из любой ее последовательности можно выделить сходящуюся, разве не так?
Тогда это просто определение метрического компакта. Есть еще топологические компакты - у которых из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. На семинарах нам говорили, что эти понятия эквивалентны в к/м пространствах, и кажется в счетномерных тоже...

elektronik

Множество K метрического пространства (M, ρ) -- компакт (предкомпакт) тогда и только тогда, когда из любой подпоследовательности {x_n} из K (не обязательно ограниченной) можно выбрать сходящуюся к некоторому x \in K (для предкомпакта -- x \in M) по ρ.
Множество K вполне ограничено в (M, ρ) тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует {y_j}_{j=1}^{n} (конечная ε-сеть): для любого x \in K существует j=j(x): ρ(x, y_j) < ε
Критерий Хаусдорфа.
Множество K в полном метрическом пространстве предкомпакт тогда и только тогда, когда K вполне ограничено.
Это вот из функционального анализа.
Речь идёт о множествах в метрических пространствах. В нашём случае нужно рассматривать множество точек последовательности в полном метрическом пространстве R^n с метрикой ρ(x_1, x_2) = \sqrt (\sum_{i=1}^{n} (x_{1, i} - x_{2, i})^2 ).
Есть некоторое несоответствие. Для компактности последовательности, вы написали, необходимо и достаточно выделения сходящейся подпоследовательности у любой ограниченной подпоследовательности исходной. Мне кажется, что определение, всё же, такое, как я привёл выше, только для множеств, состоящих из точек нашей последовательности.

antalsin

сорри, я ошиблась, правильно так: последовательность компактна если из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся подподпоследовательность (в случае с R - это обычная теорема Больцано-Вейершрасса).
те. в эр критерий компактности - это ограниченность. А в эр_ен?

slsf

А чем отличается R{N} от R ? Да, и что такое компактная последовательность ?
Критерий ты знаешь, а понимаешь что это такое ?

elektronik

Мне кажется, что критерий тот же будет и для R^n -- ограниченость.
Например, ограничена по модулю каждая координата векторов. На самом деле, не важно по какой норме -- у нас в R^n все нормы эквивалентны.

a7137928

Теорема Больцано-Вейерштрасса и иже с ней переносятся на Rn без изменений, то есть:
Th. Любая ограниченная послед-ть имеет сходящуюся подпоследовательность
Th. Множество компактно <=> оно замкнуто и ограничено.
Th. Множество компактно <=> из любого покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.
Th. Множество компактно <=> любая послед-ть на этом множестве имеет подпоследовательность, сходящуюся к точке этого множества
Что-то из этого бычно берется за определение компактности.
Тебе это надо?

a7137928

добавление. Из того, что я написал, за определение компактности лучше всего выбрать "из любого покрытия..." (топологическое) или "любая последовательность..." (метрическое). Потому что "замкнутое и ограниченное" работает только в эр-эн.
Чтобы что-то понять, попробуй определить компактность для следующих множеств:
1) {1/n} для R
2) единичный квадрат для R2
3) единичная окружность для R2
4) (2) и (3) с выколотой точкой
5) {x=0} для R2
Прогони эти множества по всем теоремам. Для некомпактных построй примеры "плохих" покрытий и последовательностей на этих множествах (то есть, нельзя выбрать конечное подпокрытие/сход. подпослед-ть).
Сразу станет лучше
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: