Расширение комплексных чисел

tatushnik77

В школе класса до 10-го я не знал, что в математике ведены какие- либо числа, квадрат которых равен -1 или просто отрицательному числу. Оказалось, такие числа есть и они являются дополнением к действительным числам (иными словами, действительные числа- частный случай комплексных).
Ввели ли уже что-то новое, расширяющее по аналогии комплексные числа? Если да- то что?

griz_a

Есть "многобазисные" системы, например кватернионы и октавы. Там помимо 1 и i есть и другие . Например, кватернионы обладают 1,i,j,k, они связаны наподобие i^2=-1.

tatushnik77

они связаны наподобие i^2=-1.
а разве их в таком случае нельзя свести к комплексному многомерному вектору?
Вот действительные к комплексным не сведешь.

griz_a

Нет. Комплексные числа по умолчанию записываются как a+bi, а эти как a+ib+jc+kd, а 1, i, j, k - просто отнормированный базис с кое-какими свойствами касательно умножения. Типа ij=-k, jk=-i, ki=-j хотя может быть я и неправильно вспомнил это условие

tatushnik77

Нет. Комплексные числа по умолчанию записываются как a+bi, а эти как a+ib+jc+kd, а 1, i, j, k - просто отнормированный базис с кое-какими свойствами касательно умножения. Типа ij=-k, jk=-i, ki=-j хотя может быть я и неправильно вспомнил это условие
Т.е там нет таких умопомрачительных(меня это в свое время впечатлило) свойств типа i^2=-1, там все сводится к комплексным числам с определенными наложенными условиями?

chepa02

комплексные - это двумерные действительные векторы с дополнительно определенной операцией умножения
кватернионы - это двумерные комплексные векторы опять же с операцией, или четырехмерные вещественные
поправьте меня если я ошибаюсь

griz_a

Да нет же. Действительные числа как бы с базисом 1
Комплексные - с базисом 1,i
Кватернионы - с базисом 1,i,j,k
Октавы с пятимерным базисом.
Т.е. комплексные числа - частный случай кватернионов при коэффициентах a,b,0,0 по базису.
Условие i^2=-1 - просто нормировка.

incwizitor

просто расширили действительные числа одной буковкой i с правилом (i^2 = -1). оказалось, что такое расширение будет полем и назвали его полем комплексных чисел.
если добавить к действительным числам буковку z с правилом 2*z^2+5 = 0, то это тоже будет поле, однако оно будет изоморфно полю комплексных чисел.
еще есть понятие p-аддических чисел. тоже очень занимательное понятие, не относящееся к расширению полей.

Sergey79

Т.е там нет таких умопомрачительных(меня это в свое время впечатлило) свойств типа i^2=-1
Специально для тебя - грассмановы числа (на них строится суперсимметрия - одна из главнейших ветвей современной физики).
Умопомрачительные свойства:
-квадрат любого грассманового числа равен нулю
-интегрирование и дифференцирование идентичны

griz_a

У базисных векторов кватернионов есть такие свойства. Там 8 корней из -1, а не 4.

NHGKU2

Следует отметить, что расширять можно и дальше, но полученные множества "чисел" будут терять "хорошие" свойства: например, в поле комплексных чисел уже нельзя ввести отношение порядка между числами, кватернионы оказываются некоммутативными, те, что дальше — теряют ассоциативность и т.д.

MerKish

Дальше расширять комплексные числа особого смысла нет, так как любое уравнение и так уже разрешимо в комплексных числах. С другой стороны можно какие угодно числа придумать, надо только операции над ними определить и всё.

NHGKU2

С другой стороны можно какие угодно числа придумать, надо только операции над ними определить и всё.
Другое дело, что если эти операции не будут удовлетворять свойствам коммутативности, ассоциативности и т.п., то толку от таких чисел будет гораздо меньше.
Кажется, нам на втором курсе доказывали теорему что-то вроде такой:
Любая ассоциативная алгебра с делением изоморфна одной из трех: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел или алгебре кватернионов.

MerKish

А про p-адические числа там точно ничего не было?

NHGKU2

нет, про р-адические ничего не было вроде.

lenmas

Нормальные алгебры - над R

seregaohota

Дальше расширять комплексные числа особого смысла нет
Смысл есть, т.к. кватернионы между прочим неявно используются в вузе, а то и в школе.
Только это называется скалярное и векторное произведение векторов, т.к. если у нас кватернионы A и В

A = a_0 + a
B = b_0 + b

где вектора

a = a_1 i + a_2 j + a_3 k
b = b_1 i + b_2 j + b_3 k

i, j, k - мнимые единицы, i^2=j^2=k^2 =-1,
ij=k=-ji,
jk=i=-kj
ki=j=-ik

то легко проверяется
A B = a_0 b_0 - a*b + a_0 b + b_0 a + a x b

где a*b скалярное, а a x b векторное произведение векторов.

Коммутативности нет. Но на 1 курсе проходя вектора неявно проходят кватернионы.
Через умножение на кватернионы повороты красиво выражаются. Слышал вращение спутников относительно центра масс считают.
Вообще есть разные представления, матрицами Паули если не вру и т.д. Много дорог ведёт в Рим. Понимание того, что разные вещи грубо говоря одно и то же - облегчает жизнь. В грамотно устроенных мозгах всё со всем связано, а если всё валяется кучами по отдельности в разных углах мозга, здесь физика, тут одно, там другое - то это блондинк.
Не понимаю почему не рассказать в школе векторное произведение а не грузить всякими правилами буравчика.
Математика - искусство разным вещам давать одинаковые названия. Пуанкаре примерно так сказал, точно не помню.

chmax

Математика - искусство разным вещам давать одинаковые названия
а одинаковым вещам - разные

mez232

Любая ассоциативная алгебра с делением изоморфна одной из трех: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел или алгебре кватернионов.
Правильная формулировка такова: ассоциативная алгебра с делением над полем действительных чисел R изоморфна...

mez232

еще есть понятие p-аддических чисел. тоже очень занимательное понятие, не относящееся к расширению полей.
Не просто занимательное понятие, а одно из самых важных в теории алгебраических чисел, причём как раз при изучении расширений полей. Только там используется ещё понятие P-адических чисел, где P - это "пэ готическое"

lena1978

а действительные числа - это одномерные нульмерные векторы с двумя операциями?

fift

+1

NHGKU2

Да-да, над R, конечно же.

NHGKU2

одномерные нульмерные
?
Просто одномерные.

stm5345716

Правильная формулировка такова: ассоциативная алгебра с делением над полем действительных чисел R изоморфна...
"Правильная" формулировка тоже неверна Забыл упомянуть про конечномерность.

natunchik

Через умножение на кватернионы повороты красиво выражаются.
В компьютерной графике, да. Красивости особой нет, но зато быстрая и качественная сферическая интерполяция получается. Правда, умножают всё равно не на кватернионы, а на построенные по ним матрицы.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: