задачка о рулетке с "побочным спором"

shale60

Привет!
В голову пришла такая задачка
Сейчас постараюсь её сформулировать
Понятно, что в рулетке матожидание отрицательное
Также очевидно, что можно придумать «побочный спор» на рулетке, ожидание которого будет плюсовым
Например, мы выбираем рулетку с минимальными ставками в 1$ за спин и спорим на 100$ , что мы будем в плюсе за небольшое число бросков. В большинстве случаев , играя «удвоением ставки» (при условии, что оппонент ставит на цвет мы будем получать небольшой плюс и крайне редко огромный минус. Ожидание по деньгам без побочной ставки отрицательное, но с учетом побочной ставки – положительное
Собственно, ставлю задачу
Игра проводится на европейской рулетке с одним зеро (36 чисел + 1 zero)
Против нас начинают «побочный спор». Оппонент может играть абсолютно по любой стратегии (ставить минимальную ставку на 37 из 37, например, ставить только на черное, ставить на число «7» и утраивать ставку. Стратегия абсолютно любая, короче говоря – и стратегия нестационарна. Например, если оппонент выходит в достаточно большой плюс – он начинает ставить минимальные ставки на 36 из 37 и выигрывает побочный спор)
Минимальная ставка равна x
Сумма в распоряжении врага (банк) – N*x (N минимальных ставок)
Если после k спинов банк оппонента больше стартового – мы получаем 2000$ (для определенности)
Если после k спинов банк оппонента меньше стартового – мы платим 2000$
Если банк оппонента равен стартовому – ничья, никто никому не платит
Какое количество спинов k необходимо указать нам, чтобы точная нижняя грань матожидания нашей прибыли (по всем возможным стратегиям оппонента) в этой игре с побочным спором превышала 0? Превышала заранее заданное число L ?
Я запутался, честно говоря

xuliganstvo

Очевидно что при k=1 матожидание будет положительно (набор стратегий противника сводится в набору стратегий при обычной игре на рулетке с отрицательным для него мат ожиданием). При k>1 наше матожидание будет отрицательно - можно построить пример выигрывающей стратегии оппонента: при k=2 стратегия удвоения ставки позволит опоненту увеличивать банк в 3 случаях из 4, для больших k - удвоение ставки в первые ходы в зависимости от N и k, далее использовать минимальную ставку - думаю можно строго показать что для каждого N>3 и k>1 есть выигрышная стратегия оппонента....

griz_a

Тут все дело в вашем начальном банке. Если он, как сейчас, бесконечен, то с ростом [math]$k$[/math] матожидание уйдет в минус бесконечность даже если игрок 2 будет всегда ставить ровно х.
Действительно, есть положительная вероятность, что процесс никогда не опустится ниже начального положения - ведь пока процесс наверху у него с вероятностью 1\2 шаг 2000+x вверх и с вероятностью 1\2 шаг на x вниз, а это случайное блуждание с положительным средним, которое с положительной вероятностью не имеет строгого нижнего лестничного момента (т.е. не опускается ниже начального положения). При этом в любом случае вниз мы не можем опуститься ниже чем на Nx.
Процесс устроен так нехорошо, что если мы начнем проигрывать, то имеем хороший шанс слить весь свой капитал. Поэтому ожидать положительного матожидания можно, как ни странно, при маленьком начальном капитале. Тогда если пойдет полоса неудач, то мы проиграем немного, зато с положительной вероятностью отожмем у бедняги весь капитал.
Так что, если наш капитал маленький, то матожидание будет положительным.

shale60

Спасибо большое за ответ!
но я честно говоря начинаю несколько тупить
Если он, как сейчас, бесконечен

а почему он бесконечен? У игрока же банк N*x (N - наперед задано)
Процесс устроен так нехорошо, что если мы начнем проигрывать, то имеем хороший шанс слить весь свой капитал. Поэтому ожидать положительного матожидания можно, как ни странно, при маленьком начальном капитале. Тогда если пойдет полоса неудач, то мы проиграем немного,

Вот тут тоже не понял. По сути - у нас 3 игрока - мы, наш оппонент и казино. Причем непосредственно играет с казино только наш оппонент.
Исходы для нас - выигрыш 2000$, проигрыш 2000$ , ничья
Исходов для оппонентов больше, но, в целом, для определенности, мы можем сказать, что минимальная ставка и банк << 2000 - и тогда также рассматриваем 3 исхода. Но это для начала - потом, по решению этой задачи хотелось бы попробовать обобщить.
Так что, если наш капитал маленький, то матожидание будет положительным.

А я правильно понимаю, что зная банк (= N*минимальная ставка) мы можем оценить, при каком количестве бросков k мы ещё играем в выгодную для себя игру (в предположении малости банка и начальных ставок относительно суммы пари (тут - X$, в посте ранее написал про 2000$ - ну пусть они и будут)

griz_a

Еще раз поясню.
Для случайного блуждания [math]$S_n= X_1+....+X_n,$[/math] где [math]$X_i$[/math] принимают значения 2000+х с вероятностью 1\2 и -x c вероятностью 1\2 есть положительная вероятность p того, что оно никогда (запущенное до бесконечности) не опустится до нуля кроме начальной точки.
Но тогда с вероятностью p наш оппонент в первый раз выиграет и дальше всегда будет в плюсе по сравнению с начальным капиталом. Как следствие, мы при этом будем каждый кон сливать по 2000. За время n получается мы с вероятностью p сольем 2000n рублей. А выиграть мы можем при наилучшем из возможных вообще раскладов Nx рублей. Если 2000np>NX, то матожидание нашего выигрыша заведомо отрицательно.
Здесь очень хорошо видно специфику. За счет подпитки дополнительными 2000 во время нахождения в плюсе оппонент может ломануться в бесконечность, высосав из нас все деньги. Если у нас их было много, то он при этом сильно подправит себе матожидание выигрыша. Если мы изначально были нищебродами, а он богачом, то он себя ставит в неудобное положение - много выиграть не может никак (только у банка, а с ним играть бесполезно зато может слить весь свой капитал...
 
а почему он бесконечен? У игрока же банк N*x (N - наперед задано)

Это у нашего соперника, а у нас никаких ограничений не прозвучало.
 
А я правильно понимаю, что зная банк (= N*минимальная ставка) мы можем оценить, при каком количестве бросков k мы ещё играем в выгодную для себя игру (в предположении малости банка и начальных ставок относительно суммы пари (тут - X$, в посте ранее написал про 2000$ - ну пусть они и будут)

Надо уточнять сколько в начале денег у нас (а не у только у банка и оппонента). Если мало, то мы будем играть в плюс, если много, то матожидание через достаточно много шагов будет отрицательным

shale60

высосав из нас все деньги
А выиграть мы можем при наилучшем из возможных вообще раскладов Nx рублей.

стоп!
Мы же не играем сами в рулетку! И не получаем его проигранных денег.
мы заключаем пари на игру оппонента с казино (он отыгрывает k вращений и представляет нам результат, который сравнивается со стартовым банком. естественно, если оппонент проигрывает весь свой банк раньше - игра для него заканчивается проигрышем.)
Поэтому, у нас денег (кроме 2000$, на которые мы спорим ) - у нас нет
И соответственно мы ничего другого, кроме как 2000$ (сумма пари) - мы проиграть не можем
Мы либо проигрываем 2000$ (и больше ничего! либо выигрываем 2000$ (и больше ничего либо играем вничью (когда после k вращений его банк равен стартовому)

shale60

Вот подобрал пример:
Например, банк 1000 минимальных ставок
Первым спином он ставит весь свой банк на 20 из 37
В 54% БР становится 1800
В 46% случаев он проигрывает пари
Вторым спином и далее он ставит 1 цент на все, проигрываая за спин 1/37 цента
итд
25000 спином он проиграет 24999/37 ~=676
банк становится 1124 и он выигрывает пари
А стратегию для большего (ну, сильно большего, когда -1/37 цент за бросок выведут итог в минус) количества бросков при тех же условиях можно подобрать?
Тогда, похоже, интересно считать будет только в случае, когда размер побочной ставки будет сравним с размерами банка (т.е. ставок в казино)

griz_a

Пардон, подумал, что мы заключаем с ним пари каждый бросок. Теперь понял в чем задача.
Могу предложить грубую оценку сверху.
Рассмотрим [math]$\delta_n$[/math] - выигрыш оппонента на шаге n, [math]$X_n$[/math] - сумму у оппонента после шага n. Тогда [math]$X_{n+1} = X_{n}+  \delta_{n+1}$[/math], [math]$X_0=xN$[/math], [math]$  \delta_n = \sum_{i=0}^l a^{(n)}_i Y_i^{(n)},$[/math] где l - число полей на рулетке, [math]$a^{(n)}_i$[/math] - сумма, которую на n-ом шаге ставит оппонент на i-ое поле, [math]$Y_i^{(n)}$[/math] - выигрыш на [math]$i$[/math]ом поле (он не зависит от [math]$a^{(n)}_i$[/math]. Значит
[math] $E(X_{n+1}-X_n|X_n,...,X_1)=\sum_{i=0}^l E(a^{(n)}_i Y_i^{(n)}|X_n,...,X_1) =\\ \sum_{i=0}^l E(a^{(n)}_i E(Y_i^{(n)}|a^{(n)}_i,X_n,...,X_1)|X_n,...,X_1) = \sum_{i=0}^{l} E(a^{(n)}_i|X_n,...,X_1) EY_i $[/math]
Поскольку все [math]$EY_i<0$[/math], а все [math]$a^{(n)}_i$[/math] неотрицательны, то это супермартингал (что мне не понадобится, но осознавать такой факт приятно :))
При этом имеем очевидное соотношение
[math]$E(X_{n+1}|X_n,...,X_1) \leq X_n - xy I_{X_n>0},$[/math]
где [math]$y=-\min EY_i$[/math] - средний проигрыш, который дает наименее проигрышное поле рулетки.
Из него
[math] $  P(X_{n}>xN|X_{n-1},...,X_1) \leq E(X_n|X_{n-1},...,X_1)/(xN) = (xN - x y n + xy \sum\limits_{i=1}^{n-1} I_{X_i=0})/(xN) $[/math]
В частности,
[math]$P(X_n>xN)\leq 1-yn/N + y(n-1)P(X_n=0)/N,$[/math]
при этом
[math]$P(X_n=0)\leq 1-P(X_n>Xn)$[/math]
Отсюда имеем
[math]$P(X_n>xN)\leq \frac{1-y/N}{1+y(n-1)/N} = \frac{N-y}{N+y(n-1)}$[/math]
В частности при
[math]$n>2N/y-1$[/math]
заведомо матожидание нашего выигрыша положительно. Это, в общем-то, практически соответствует стратегии сыграть на "почти удвоение", а потом сливать деньги с минимальной скоростью.

shale60

спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: