Вопрос по базисам Гамеля

qwert13

Как доказать, что два базиса Гамеля в линейном пространстве равномощны?

3deus

Как доказать, что два базиса Гамеля в линейном пространстве равномощны?
Пусть X и Y - базисы (Гамеля) лин. пр-ва V. Пусть M - мн-во всех изоморфизмов A:V -> V.
Обозначим A_(XxY) = (A пересечь с X x Y здесь функция A мыслится как подмножество декартова произведения V x V , обладающее известным св-вом. Введем частичный порядок на М : A <= A`, если A_(XxY) лежит в A`_(X xY).
Условия леммы Цорна очевидно выполнены для (M, <=). Возьмем максимальный элемент A.
Обозначим через A_X и A_Y область определения и мн-во значений биекции A_(XxY).
Нетрудно показать, что или A_X = X или A_Y = Y.
 Cчитаем, что A_Y = Y и A_X <> X. Тогда возьмем e из X \ A_X.
 A(e) = (Сумма по i) r_i eps_i = (Сумма по i) r_i A(e_i) = AСумма по i) r_i e_i
 где eps_i из Y, e_i из A_X ,
 поэтому е = (Сумма по i) r_i e_i - противоречие доказывает, что A_X = X.
 Все.

3deus

Условия леммы Цорна очевидно выполнены для (M, <=).
Автор треда просил объяснить подробнее это.

Напомню определение понятия функция.
Функцией называется подмножество [math][res=130]{\begin{equation*}  f\subset A \times B \end{equation*}} [/math]
такое, что [math][res=130]{\begin{equation*} \forall a \in A \end{equation*}} [/math] [math][res=130]{\begin{equation*} \exists !  b \in B : (a,b) \in f   \end{equation*}} [/math] .
Функция [math][res=130]{\begin{equation*} f_1: A_1 \rightarrow B_1 \end{equation*}} [/math]
называется сужением функции [math][res=130]{\begin{equation*} f: A \rightarrow B \end{equation*}} [/math], где [math][res=130]{\begin{equation*} A_1 \subset A , B_1 \subset B \end{equation*}} [/math] , если [math][res=130]{\begin{equation*} \forall a \in A_1 \end{equation*}} [/math]
[math][res=130]{\begin{equation*} f_1(a) = f(a) \end{equation*}} [/math] . Это эквивалентно
тому, что [math][res=130]{\begin{equation*} f_1 \subset f  \end{equation*}} [/math] .
Теперь должно быть понятно, что в качестве верхней границы любой цепи С частично упорядоченного множества (M, <=) следует брать продолжение биекции
[math][res=130]{\begin{equation*}b = {\cup}_{A \in C} \end{equation*}} [/math] [math][res=130]{\begin{equation*}A_{X\times Y}\end{equation*}} [/math] до изоморфизма пространства V.
Действительно, если b - биекция из подмножества X` базиса X в поднож-во Y` базиса Y, то
изоморфизм b`: <X`> -> <Y`> - можно легко дополнить до изоморфизма пр-ва V, рассматривая соответствующие прямые суммы, подпространства и факторпространства V по <X`> и <Y`>.

3deus

Мое решение неверно,
я ошибся.
Правильное решение см. в книге Верещагин, Шень "Начала теории множеств", глава 2.9, теорема 36.
Лемма 1. Множество всех конечных послед-тей, составленных из элементов бесконечного мн-ва А, равномощно А.
Лемма 2. Если бесконечное мн-во разбито на конечные куски, то множество кусков равномощно самому мн-ву.
Теорема. Любые два базиса в беск. мерн. лин. пр-ве равномощны.
Док-во. Выражаем эл-ты первого базиса как конечные лин. комб. эл-тов второго базиса, и строим отобр. из первого базиса во мн-во конечных подмн-в эл-тов второго базиса, это не инъекция, но прообраз каждого эл-та конечен. Из этих соображений и лемм 1 и 2, заключаем что мощность первого базиса не больше мощности второго.
Аналогично, мощность второго <= мощность первого.
 Т.о. базисы равномощны.
=========
Для полного понимания док-ва придется изучить всю главу 2.9.

qwert13

Огромное спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: