Приближение факториала.

solovyov88

Как доказать, что (N-n1)!*(N-n2)! / (N!*(N-n1-n2)!) ~ exp(-n1*n2/N)?

Afonya

Обычно помогает добрый дядя Стирлинг

kartonandme

Используй это:


ln N!=ln+ln2+...+lnN=integral from 1 to N (lnx)=N(lnN-1)
N!=exp(N(lnN-1=(N/e)^N

kartonandme

Вывод которого я и привёл
Если склероз не подводит...

Afonya

Вообще-то N! = N^N *exp(-N) * sqrt(2*Pi*N).

kartonandme

Без корня обычно для доказательств хватает, да и выводится просто...

Afonya

Итак, обесняю :
(N-n1)!*(N-n2)! / (N!*(N-n1-n2)!) ~ (N-n1)^(N-n1)*(N-n2)^{N-n2) / (N^N*(N-n1-n2)^(N-n1-n2 = (1-n1/N)^(N-n1)*(1-n2/N)^{N-n2) / (1-(n1-n2)/N)^(N-n1-n2).
Далее у всего этого дела берешь логарифм и отбрасываешь маленькие члены :
ln1-x/N)^(N-x ~ (N-x) *( -x/N - x^2/(2N^2 ~ -x + x^2/(2N) . А дальше получаешь свой ответ.

kartonandme

Нужно было дать человек время - пусть сам подумает, а ты так сразу ответ...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: