Чему равен предел

Stockman

n>1, фиксированное целое число.
lim(1-1/n^3)*(1-1/(n+1)^3)...(1-1/N^3 N->infty

Sensor4ik


Stockman


а предел этого результата при n->infty чему равен?

Sensor4ik

Это уже и есть предел. Вторая строчка - это был пример для k=2.
А ниже - пояснение, что такое функция Gamma.
Для лучшего понимания немного изменю вычисления и поясню, что делает Mathematica.

Первой строчкой я обозначаю твое произведение через функцию Funct.
Второй строчкой я вычисляю предел этого выражения при N → ∞.

Stockman

Не, я вот что имею ввиду.
Вырожение (1-1/n^3)*(1-1/(n+1)^3)...(1-1/N^3) зависит от n и от N. В первом своем ответе ты вычислил предел при N->infty. Получилось страшное выражение A(n) зависящее от n (далее ты привел значние этого вырожения при n=2). А теперь вопрос, чему равен предел А(n) при n->infty
о как!
P.S. А что, аналитически все это не считается?

lenmas

К единице. Так как то, что ты предложила вычислить, есть остаток бесконечного произведения (которое ведется от 2). Раз произведение сходится, то его остаток обязан стремиться к единице (это из общей теории).

mong

физики поступают проще - меняют пределы местами.
ответ получается тот же !

lenmas

Круто это они делают. Я, если честно, не понимаю, как это у них получается.

mong

само собой получается!

Stockman

К единице. Так как то, что ты предложила вычислить, есть остаток бесконечного произведения (которое ведется от 2). Раз произведение сходится, то его остаток обязан стремиться к единице (это из общей теории).
Если мы заменим во всех множителях кубы на линейный члены: 1/k^3 -> 1/k , то остаток будет сходиться к нулю, а не к единице:
lim(1-1/n1-1/(n+1...(1-1/N)=0 при N->infty
Что говорит общая теория на этот счет!?

lenmas

Общая теория говорит, что это для расходящегося к нулю бесконечного произведения так. На самом деле, если брать отрезки частных произведений, то у расходящегося произведения они могут стремится и не к нулю (например, у твоего гармонического произведения, если брать отрезки от k до 2k, то при k->infty они будут сходиться к 2, а не к нулю).
P.S. Ошибся, не к 2, а к 1/2.

NHGKU2

Дело в том, что если мы заменим во всех множителях кубы на линейные члены, то бесконечное произведение перестанет сходиться (оно будет расходиться к нулю).

Stockman

Что такое "расходиться к нулю" я не очень понимаю. "Расходиться" я понимаю как не иметь предела. Ну в крайнем случае, если предел равен бесконечности, то можно тоже сказать, что имеем расходимость. А "расходиться к нулю".. сходиться к нулю! Или я чего-то не понимаю.
Суммируя. lim_{n->8}lim_{N->8}(с кубами)=1 isn't it?

NHGKU2

Что такое "расходиться к нулю" я не очень понимаю. "Расходиться" я понимаю как не иметь предела. Ну в крайнем случае, если предел равен бесконечности, то можно тоже сказать, что имеем расходимость. А "расходиться к нулю".. сходиться к нулю! Или я чего-то не понимаю.
Ну это просто определение такое в анализе: если существует конечный ненулевой предел, то бесконечное произведение сходится, а если не существует или предел равен бесконечности или нулю, то расходится (в последнем случае говорят "расходится к нулю").
 
lim_{n->8}lim_{N->8}(с кубами)=1 isn't it?
Да, именно так.

Stockman

Спасибо всем!
Но... тогда это только начало
Вопрос (из которого вырос обсуждаемый тут предельчик):
X_n= n с вероятностью 1/n^3 и 0 с вероятнотью (1-1/n^3).
Сходится ли эта последовательность к нулю почти навреное?
Интуиция говорит, что нет. А техника спит

NHGKU2

Мне кажется, что эта последовательность сходится к 0 почти наверное, т.к. мера точек, в которых X_n не стремится к 0, меньше 1/n^3 для всех n, т.е. равна 0, а это и означает сходимость к 0 почти наверное. И даже по вероятности вроде есть сходимость...

griz_a

эта последовательность сходится к 0 почти наверное, т.к. мера точек, в которых X_n не стремится к 0, меньше 1/n^3 для всех n, т.е. равна 0, а это и означает сходимость к 0 почти наверное. И даже по вероятности вроде есть сходимость...

Робин, ты чего? Про плавающую ступеньку Риссе никогда не слышал?
Для сходимости почти наверное надо задать не только распределения, но и сами величины, конечно же. В общем случае - не сходится

lenmas

А что плавающая то, что ты назвал? Там сумма мер носителей расходится. А тут сходится.

griz_a

А, понял, ряд просуммировать не догадался.
Да, значит сходимость есть, так как для любого eps мера множество расходимости можно засунуть в множество меры eps из сходимости ряда из 1\n^3.
Что робин написал я все равно не понял
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: