Доказать пересечение кривых

blackout

Того, что если есть две непрерывные кривые с концами на разных противоположных сторонах квадрата, то эти кривые обязательно пересекаются.

blackout

Вот, придумал одно. Можно дополнить эти кривые до двух замкнутых кривых, добавив к ним куски вне квадрата, причем так, что эти куски пересекаются ровно 1 раз. А замкнутые кривые пересекаются четное число раз.
Но это не совсем то, хотелось бы чего-то, не использующего сложные факты (может быть доказательство утверждения про 2 замкнутые кривые вообще использует исходный факт).

mtk79

первое, что приходит в мозг — от противного, а опровержение по т.о промежуточных значениях непр. функции (употребленной покомпонентно)

tester1

рассмотри верхние огибающие для твоих кривых - они будут графиками однозначных непрерывных функций, заданных на отрезке (нижней стороне квадрата)
разность этих функций непрерывна и на концах отрезка принимает значения -1 и +1, следовательно, в какой-то промежуточной точке принимает значение 0 - это и будет точка пересечения твоих исходных кривых

fabio

blackout

Да, кривые внутри квадрата, конечно.

blackout

Я правильно нарисовал огибающие (желтый) для красной и зеленой кривой? Желтые кривые пересекаются совсем не там, где зеленая и красная.

tester1

чёрт, я условие неправильно прочитал - подумал что в противоположных вершинах квадрата
впрочем, моё решение всё равно проходит, только надо повернуть квадрат на 45 градусов и функции продолжить константами за границы квадрата. разность уже будет не -1 и +1, а просто разного знака
что-то путано объясняю. пойду лучше спать :)

tester1

поверни на 45 градусов и снова нарисуй огибающие - нормально всё пересечётся.
я же писал, что сначала условие неправильно прочитал по ошибке

lenmas

рассмотри верхние огибающие для твоих кривых - они будут графиками однозначных непрерывных функций, заданных на отрезке (нижней стороне квадрата)
разность этих функций непрерывна и на концах отрезка принимает значения -1 и +1, следовательно, в какой-то промежуточной точке принимает значение 0 - это и будет точка пересечения твоих исходных кривых
Надо аккуратнее. Вписать ломаную в одну из кривых. Рассмотреть замкнутую ломаную из этой ломаной, прилежащих отрезков к третьей стороне квадрата и самой этой третьей стороны. Сделать из нее несамопересекающуюся ломаную, выбросив петли и точки возврата, оставляя все время точку на третьей стороне, из которой исходит вторая кривая. Рассмотреть жорданову область, ограниченную этой кривой вместе с некоторой ε-окрестностью точки, из которой начинается вторая кривая на этой стороне. Тогда вторая кривая по теореме Жордана (может быть, для области, ограниченной ломаной, она легче доказывается?) где-то пересекает эту ломаную. Потом измельчать ломаные до бесконечности и находить предельную точку. Эта точка и будет искомой точкой пересечения.

stat3032681

В силу непрерывности, у кривых существуют наибольшие и наименьшие значения. Рассмотрим две полосы, в которых лежат кривые: вертикальная полоса между наименьшим и наименьшим значением одной кривой, горизонтальная полоса между наименьшим и наибольшим значением второй кривой. Эти две полосы пересекаются, образуя прямоугольник в пересечении. Если кривые не пересекаются, то внутри этого прямоугольника отсутствует часть одной из кривых, что противоречит условию выбора этого прямоугольника. Если присутствуют две кривые, то снова применяем эту же процедуру для этого прямоугольника. Устремляем количество итераций к бесконечности.

Vlad128

ну очевидно же, что на первой же итерации может оказаться так, что прямоугольник не уменьшится, если каждая из кривых пересекает все четыре стороны квадрата. Да и если не так, не факт, что в пределе получим точку, а не прямоугольник.

stm7543347

Если присутствуют две кривые, то снова применяем эту же процедуру для этого прямоугольника.
Какую именно процедуру?
Например, что ты будешь делать, если прямоугольник останется тем же? :D

stat3032681

точно :(
но мне кажется, все равно идею вложенных прямоугольников можно использовать... например, предположить, что кривые не пересекаются и разбить каждую из сторон на n частей, дальше строить вложенные прямоугольники, обрезая квадрат слева и справа на 1/n...

Alexx13

Не ограничивая общности, можем считать, что эти кривые соединяют середины противоположных сторон квадрата, а значит, являются замкнутыми кривыми на торе.
Легко видеть, что каждая из этих кривых, как кривая на торе, гомотопна соответствующей "горизонтальной" или "вертикальной" окружности на торе.
Индекс пересечения этих окружностей, как представителей одномерных гомологий, равен 1.
А исходные кривые им гомотопичны, а значит, и гомологичны, а значит обязаны пересекаться, иначе индекс пересечения был бы 0.

blackout

Я подозреваю, что для корректного определения индекса пересечения нужно сначала доказать факт, аналогичный факту из первого поста.

incwizitor

Того, что если есть две непрерывные кривые с концами на разных противоположных сторонах квадрата, то эти кривые обязательно пересекаются.
если бы это было не так, то в москве не было бы пробок
чтд

Alexx13

Индекс пересечения двух классов гомологий дополняющих размерностей определяется через кап-продакт двойственных по Пуанкаре когомологических классов.
Ни двойственность Пуанкаре, ни кап-продакт не требуют для своего корректного определения доказательства каких-либо фактов, аналогичных первому посту.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: