2 вопроса по условному экстремуму (Лагранж) и квадратичным формам

p131313

   Допустим, есть функция f(x, y, z) и условия g(x, y, z)=0 и h(x, y, z)=0.
   Я составил функцию Лагранжа, после чего нашел точки, в которых прозводные обращаются в ноль. Как определить, является ли эта точка экстремумом и если да, то максимумом или минимумом?
   Первое, что приходит в голову — составление квадратичной формы из вторых производных вместе с критерием Сильвестра, как и для обычной функции. Правильно ли это? Смущает то, что экстремум условный.
   Четные производные высших порядков брать во внимание не стоит, предполагается, что ф-я дифференцируема нужное число раз, и что вторые производные не обращаются в 0.
   если ответ на первый вопрос — "да", то допустим, что у нас есть матрица вторых производных, первый угловой минор положительный, второй — отрицательный, третий — положительный. Что можно сказать по поводу такого кандидата на экстремум? Ведь достаточно, с одной стороны, поменять знак функции, чтобы миноры поменяли знак на
-
+
- ,
и сказать, что это — минимум, а с другой — что-то здесь не то.
Какие у кого соображения?

Lene81

Не понял, в чем проблемы?
Задача об условном экстремуме при помощи функции Лагранжа превращается в задачу о безусловном. Все теоремы, в том числе и о достаточных условиях экстремума тут должны работать

chepa02

минимум если все плюсы, максимум - все минусы
а плюсы-минусы - это ни то, ни то, седловая точка

p131313

Не понял, в чем проблемы?
Задача об условном экстремуме при помощи функции Лагранжа превращается в задачу о безусловном. Все теоремы, в том числе и о достаточных условиях экстремума тут должны работать
Например, для переменных лямбда_i двойные производные обращаются в ноль — уже условие экстремума не выполняется.
минимум если все плюсы, максимум - все минусы
а плюсы-минусы - это ни то, ни то, седловая точка

а разве не минимум
- + - + -,
а максимум
+++++ ?

chepa02


а разве не минимум
- + - + -,
а максимум
+++++ ?
ты смотришь на критерий Сильвестра, а я на сигнатуру формы
то есть чередование знаков у тебя = все минусы у меня
только вот по-моему минимум и максимум местами надо поменять
ссылка на вики

Sergey79

только вот по-моему минимум и максимум местами надо поменять
нас всегда учили, что если в график можно налить воды - то это "+"
а если она выльется - то это "-"

lenmas

Все очень просто: берешь второй дифференциал функции Лагранжа (с положительным коэффициентом при самой экстремируемой функции, обычно он равен единице причем исключаешь лишние дифференциалы переменных с помощью соотношений d(g(x,y,z=0 и d(h(x,y,z=0 в той точке, где ты проверяешь какой именно экстремум. Полученную квадратичную форму уже исследуешь по критерию Сильвестра. В указанном тобою частном случае функции трех переменных и двух условий после исключения останется квадратичная форма от одного дифференциала, то-есть там и критерий Сильвестра тривиальный :grin: Все это написано в Демидовиче вообще-то.

lenmas

Например, для переменных лямбда_i двойные производные обращаются в ноль — уже условие экстремума не выполняется.
По x,y,z надо брать второй дифференциал. На лямбда и-тые надо смотреть как на постоянные коэффициенты, если посмотришь на теорию этого дела. Хотя для определения возможных точек экстремума можно формально приравнивать к нулю и производные по лямбда (тогда получатся сами условия).

chepa02

вспомнила, у нас зонтик рисовали
+ --- хорошая погода --- зонтик книзу --- минимум
- --- плохая ------------ кверху ------- максимум
:)

lenmas

А не проще ли посмотреть на график y=x^2 и посчитать у него вторую производную? ;)
А то зонтики, наливания жидкости в емкость ... :grin:

p131313

Привильно ли я понял, что после нахождения точек-кандидатов на экстремумы и параметров лямбда_i надо после этого лямбда_i рассматривать, как параметры, а максимум/минимум при определенных условиях на вторые производные (предполагаем, что они выполняются) определять, рассматривая матрицу вторых производных функции F в данных точках-кандидатах, словно это обычные, а не условные экстремумы?

p131313

Почему тогда такая задача из Демидовича решается через логарифм?

Понятно, что экстремум ф-и и ее логарифма должны совпадать, но почему нельзя обойтись без него? Я пробовал, там получается, что вторая производная по х равна нулю, а дальше фиг пойми, что делать. Прокомментируйте, почему здесь используют логарифм. И всегда ли его можно использовать (с учетом допустимой области определения, конечно)?

lenmas

матрицу вторых производных функции F в данных точках-кандидатах, словно это обычные, а не условные экстремумы?
Если F --- это функция Лагранжа, то да, только не забудь перед матрицей вторых производных исключить лишние дифференциалы с помощью условий, иначе получится бред типа сочетаний знаков, которые ты рисовал.

lenmas

Почему тогда такая задача из Демидовича решается через логарифм?
Решай без логарифма. Вычисляй второй дифференциал функции Лагранжа. Там вторая производная действительно будет нуль по x, но смешанные производные с x останутся же. Пиши полное выражение для второго дифференциала в виде квадратичной формы, потом исключай dx с помощью соотношения d(x+2y+3z-a)=0 (то-есть dx=-2dy-3dz и увидишь, что квадратичная форма от оставшихся dy, dz будет иметь определенный знак (если не ошибаюсь, то отрицательный) в твоей точке экстремума. :)
А с логарифмами --- это у кого-то заумь взяла.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: