Когда кривизна тора равна нулю?

stm7515375

подскажите плиз, как это посчитать...оч-оч надо а дифгема снашим преподом я не знаю...

Xephon

Какая кривизна имеется в виду?

stm7515375

гаусова

stm7515375

а ещё это надо визуализировать как-нибудь: то есть нарисовать тор(который можно вращать, изменять...) и нарисовать на нём множество точек в которых кривизна гаусова равна нулю.
Кто сделает до конца недели, в долгу не окажусь...
Пожалуйста! От этого экзамен у меня зависит... :'(

lordkay

тор обычный, в R^3?
метрика обычная?

stm7515375

ДА, метрика обычная

lordkay

я дифгем давно забыл, но для обычной метрики вроде никогда
гаусова кривизна - произведение главных кривизн (максимальной и минимальной нормальной кривизны)
в точке берем нормаль и проводим всевозможные плоскости через нее, в сечении получаем кривые, нормальные кривизны - это кривизны этих кривых
чтобы главная была 0, надо чтобы в одном сечении получалась прямая
если задача поставлена как "когда кривизна тора равна нулю?" (а не где)
то по-моему, надо как раз придумывать подходящую метрику

stm7515375

всё-таки где она равна нулю...изобразить это надо...

lordkay

у тебя учебник под руками есть?
я правильно определение написал?

stm7515375

вроде не верно...
нулевая кривизна может быть не главной в данной точке

lordkay

гаусова - это произведение главных?

lordkay

>>чтобы главная была 0, надо чтобы в одном сечении получалась прямая
это необходимое, но не достаточное условие

Slawik75

чтобы главная была 0, надо чтобы в одном сечении получалась прямая
не совсем так. Надо, чтобы в одном сечении получалась кривая, имеющая в этой точке нулевую кривизну. При этом в остальных точках она может иметь и ненулевую кривизну. Т.е. может и не быть прямой.
Боюсь, что топикстартеру придется честно посчитать кривизну.
Наверное, надо для этого параметризовать тор. Скажем, один радуис положить равным единице для определенности и ввести три параметра: два угла и втрой радиус.
А потом, пользуясь этими параметрами, вычислить кривизну в каждой точке тора. Для этого надо бы почитать учебник.
Кстати, в силу симметрии тора относительно центральной оси будет выполнено следующее: если в какой-то точке тора выполняется это условие на кривизну, то оно выполняется на целой окружности, идущей вдоль тора. Т.е. скорее всего ответом будет служить несколько таких окружностей.
Мне кажется, что их должно быть 4.

lordkay

>>Надо, чтобы в одном сечении получалась кривая, имеющая в этой точке нулевую кривизну.
пример такой кривой приведи?

chepa02

Боюсь, что топикстартеру придется честно посчитать кривизну.
Наверное, надо для этого параметризовать тор. Скажем, один радуис положить равным единице для определенности и ввести три параметра: два угла и втрой радиус.
А потом, пользуясь этими параметрами, вычислить кривизну в каждой точке тора. Для этого надо бы почитать учебник.

кстати общая формула гауссовой кривизны для поверхности вращения выводится на всех семинарах
хотя в случае тора руками посчитать может быть проще

Slawik75

пример такой кривой приведи?
Ну, например, можно взять кусок прямой и прифигачить к нему что угодно. На этом куске кривизна будет равна нулю. Но это не очень покажательный пример. Нужно что-нить, что имеет одну точку с нулевой кривизной в каком-нить интервале.
Давно уже это было. Ну, скажем, у синусоиды вроде в точках пересечения с ОХ кривизна равна 0.
Кстати, чтобы участок кривой был куском прямой необходимо и достаточно, чтобы в ЛЮБОЙ точке этого участка кривизна была равно 0.

lordkay

про кусок прямой + что-то - понятно
про кривую я писал для тора, а не в общем случае, на торе нет синусоид, там все кривые без перегибов
так что, вроде, для тора такого не бывает

Slawik75

там все кривые без перегибов
Не согласен.
Например, возьми самую ближнюю к центру тора точку (таких целая окружность).
Проведи окружность, которая обхватывает тор. К ней в этой точке проведи нормаль (какую-то правильную, не помню как называется, вроде ориентированная). Она будет смотреть внутрь тора, т.е. от его центра.
Проведи окружность, которая состоит из таких же самых ближних к центру точек. Теперь нормаль будет смотреть к центру тора. Т.е. эти две нормали будут смореть в разыне стороны.
Из соображений непрерывности можно "понять", что можно-таки так повернуть эту секущую тор плоскость, чтобы радиус кривизны был бесконечен. т.е. эта нормаль никуда не смотрела. Так что перегибы вроде бы и есть Хотя совсем не очевидны. Проще уже до формулы добраться и посчитать...

Slawik75

Кстати, в последнем посте мог ошибаться. Но все же проще посчитать по формулам...
И, как правильно заметил , можно пользоваться всем, что верно для фигур вращения.

iri3955

На торе она равна нулю на окружностях касания тора с опорными плоскостями.

stm7515375

а ка уравнение выглядит?

chepa02

кривизна сечения, перепендикулярного большому радиусу в верхней точке тора равна нулю?
а почему?

iri3955

А разве нет? Может, меня проглючило...

stm7515375

А может это кто-нибудь визуализировать?

chepa02

ну мне например как-то неочевидно какая она там

iri3955

Ур-е тора?
Параметрическое, по угла \phi и \psi. R и r - радиусы.
x(\phi, \psi) = (R + r\cos\psi)\cos\phi,
y(\phi, \psi) = (R + r\cos\psi)\sin\phi
z(\phi, \psi) = r\sin\psi
Вроде так

Slawik75

кривизна сечения, перепендикулярного большому радиусу в верхней точке тора равна нулю?
а почему?
Какого-то такого ответа я и ждал. Только я ждал, что будет 4 окружности. Оказалось 2. Вполне может быть. Боюсь, глубокой геометрической причины тут никто не приведет. Надо считать. На память формул не помню, да и лень, да и на работе. Так что тем, у кого сейчас формулы под руками, и карты в руки.

chepa02

вот за что люблю дифгем:
четыре человека решают задачу и ни один не хочет писать формулы, все ищут красивый обходной путь

NHGKU2

На торе она равна нулю на окружностях касания тора с опорными плоскостями.
Точно.
По формуле для гауссовой кривизны поверхности вращения (что предлагала использовать) именно этот ответ и получается.

NHGKU2

Я честно по формуле посчитал!

iri3955

+1 Очень влом, да и не умею я считать

iri3955

А я нашёл красивый обходной
Пусть нормальная кривизна не ноль, тогда он будет сколь угодно большой при достаточном наклоне.
Но при наклонах, близких к \pi/2 кривая ведёт себя как та самая окружность, причём, нетрудно заметить, что
кривизна её больше чем 1/R (она лежит ниже этой окружности, если её повернуть

chepa02

выкладывай

Slawik75

Не, если я кому дал понять, что я решаю задачу, то извиняюсь. Делать этого не собирался за неимением достаточного времени и возможности подсмотреть формулы, о которых говорил.
Просто ввязался в разговор (вроде даже по делу а потом было уже интересно.

chepa02

ну ты и описал, с десятого прочтения поняла
интересно, то есть всегда, если кривизна наклонного сечения ограничена, то кривизна соотв нормального равна нулю

iri3955

Ну да... Есть же формула (уже не помню автора - с ГОСов куча времени прошло . Из неё всё следует

chepa02

Менье, про cos

iri3955

О! Придумал проще.
Кривизна здеь непрерывна (вроде). Но слева (дальше от центра тора) от этой кривой она отрицательна, а справа положительна.
Ну, то есть, не отрицательна и положительна, а вектор нормали в разные стороны смотрит.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: