Доказать непрерывность симметричного линейного оператора

alistik

как доказать, что симметричный линейный оператор в гильбертовом пространстве непрерывен? то есть такой оператор А, что скалярные произведения равны для любых х и у: (Ах, у) = (Ау, х).

vovatroff

Никак, это в общем случае неверно.
У дифференциальных операторов в L_2 есть примеры
самосопряженных расширений, которые, естественно,
неограниченные, т.е. не непрерывные. В l_2 маленьком
тоже аналогичные примеры легко построить.

alistik

ну вообще забыл написать, что оператор линнейный, да. испрвил первый пост, может пригодится кому-нибудь.
решение - через теорему о замкнутом графике докажем, что множество Н*Н с элементами (х, Ах) замкнуто, то есть - содержит все свои предельные точки. в лоб берется сходящаяся последовательность х_n -> x и последовательность Ах_n->y. далее цепочка в две стороны, используя симметричность оператора, показывающа, что для любого элемента z скалярные произведения (Ах, z) = (y,z) то есть Ax=y.
Задачка тривиальная в общем-то

lenmas

А как же быть с оператором двойного дифференцирования в L^2(R) (вернее, с его самосопряженным расширением)?
Или тут загвоздка в том, что он определен на всем пространстве?

alistik

том, что он определен на всем пространстве?
в точку :)

lenmas

Понятно. Решение я тоже посмотрел, понравилось :)

soldatiki

Имелся в виду оператор, определенный на всем пространстве, причем пространство над вещественным полем.

vovatroff

в лоб берется сходящаяся последовательность х_n -> x и последовательность Ах_n->y.
Если оператор A не непрерывный (а это как раз нужно проверить то из наличия предела
у посл-ти {х_n}, вообще говоря, не следует наличие предела у {Ах_n} . Контрпример:
f_n = sin (n*x)/n; Af = i*d/dx в С[0, pi] или в L_2[0, pi]. Поэтому то, что вы здесь проверяете
- это на самом деле не непрерывность, а замкнутость оператора, несколько более слабое свойство. Что если пределы у {х_n} и {Ах_n} существуют, то lim x_n принадлежит D(A) и
lim Ax_n = A(lim x_n).
Да, в самом деле, любой с/с оператор замкнут. Но не любой с/с непрерывен!
По теореме о замкнутом графике, если A замкнут и имеет замкнутую область определения
D(A то он ограничен, а значит, непрерывен. Т.е. для применения этой теоремы нужно
обосновать еще замкнутость D(A). Например, потребовать, чтобы D(A) = все H (что заведомо
не так для i*d/dx и даже для его c/c расширений).

soldatiki

Да блин, чел изначально имел в виду школьный факт: если оператор определен на всем гильбертовом пространстве и симметричен, то он непрерывен. Для этого достаточно доказать замкнутость оператора, то есть, что Ax_n -> Ax при условии, что x_n -> x и что Ax_n сходятся. Показываем: для всякого y имеем (Ax_n, y) = (x_n, Ay) -> (x, Ay) = (Ax, y). Это означает, что lim Ax_n совпадает с Ax.

svetik5623190

Комментировать уже комментированное - зло, но если кто-то по-прежнему не понял, что иемлось в виду, то и я внесу свой вклад.
Поподробнее поясню один момент в доказательстве.
через теорему о замкнутом графике докажем, что график оператора, т.е. множество G (подмножество в НxН) с элементами (х, Ах) замкнуто, то есть - содержит все свои предельные точки. В лоб берется сходящаяся последовательность g_n -> g элементов множества G. Докажем, что g принадлежит G. Поскольку G - график оператора, по определению графика g_n=(x_n, Ax_n причём x_n->x, и Ах_n->y, где g=(x,y).
Далее по тексту оригинала.

vovatroff

если оператор определен на всем гильбертовом пространстве и симметричен, то он непрерывен.
Всё так.
Я всего лишь пытался объяснить топикстартеру, зачем ему для применения теоремы
о замкнутом графике нужно условие замкнутости D(A) (в частности, это может быть
условие *определен на всем гильбертовом пространстве*)
А без этого условия утверждение просто неверно. Только и всего.
ЗЫ сам не с мехмата, просто немного функано-любитель.

soldatiki

сам не с мехмата, просто немного функано-любитель
хм-м-м... респект.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: