Задача про ракеты

491593

— Раз ты так лихо решаешь головоломные задачи, я хочу предложить тебе одну весьма замысловатую задачку, которую недавно услышал от приятеля. Представь себе четыре самонаводящиеся ракеты, первоначально расположенные в вершинах квадрата со стороной - 20 миль. Каждая ракета нацелена на другую — в соседней вершине квадрата, если вершины обходить по часовой стрелке.
Говоривший на минуту остановился и набросал в блокноте небольшой чертеж, после чего продолжал:
— Скорость ракет пусть будет, скажем, 1 миля в секунду. При таком расположении все четыре ракеты после запуска будут постепенно поворачиваться вправо по часовой стрелке, держа курс на свою цель, и в конце концов столкнутся в центре квадрата. Требуется определить, какое расстояние успеют пролететь ракеты от запуска до столкновения.
— Это не очень трудная задача, — произнес Джек. — Для решения ее нужно просто ввести полярные координаты с началом в центре квадрата, потом написать дифференциальное уравнение для траекторий ракет,решить его и вычислить интеграл длины траекторий..

vvasilevskiy

По моему БАЯН из Перельмана, только ракет самонаводящихся в его время не было-были собаки

aldo63

Ну и ответ — 20 миль, т.к. все скорости перпендикулярны.

navstar

Что за мода давать задачи в повествовательном ключе?

Suebaby

Ну и ответ — 20 миль, т.к. все скорости перпендикулярны.
Объясни пожалуйста поподробнее

krotms

а у нас на лекциях по педагогике черепахи! :grin: :grin:

tlt_2008

Объясни пожалуйста поподробнее
+1, тоже хотелось бы разъяснения

aldo63

Ну у тебя же в условии сказано, что вектор скорости каждой ракеты в любой момент времени направлен на другую ракету. Тут как ни крути, она не может пройти другого расстояния кроме того, которое было изначально — 20 миль. Она в каждый момент занята только тем, что приближается к своей цели, а как ведет себя эта цель нас не должно занимать.
Да, поясню. Нас это не должно занимать как раз потому, что цель не удаляется от ракеты, т.к. ее скорость перпендикулярна скорости ракеты.

Lene81

Рассуждение удобно вести в полярной системе координат с началом в центре правлиьного n-угольника, образованного ракетами (они столкнутся именно в этой точке)
Из условия задачи понятно, что вектор скорости, касательный к траектории, составляет с постоянный угол с радиус-вектором ракеты, а значение этого угла есть
[math]$\phi = \dfrac{1}{2}(\pi - 2\pi/n)$[/math],
где n — число ракет в задаче.
Ракеты столкнутся в тот момент, когда длина радиус-вектора станет равной нулю. Соответственно, вычисляем проекцию вектора перемещения за малый промежуток времени vdt на направление радиус-вектора ракеты:
[math]$\delta r = v \delta t*\cos(\phi)$[/math].
Время до столкновения тогда
[math]$r/(v \cos(\phi $[/math].
Updt
А, ну да, вычислить r в начальный момент времени, зная сторону n-угольника легко. Для квадрата как раз и получаем, что t = d/v

aldo63

бл

volodya

Всё, допёрло. Скорость изменения расстояния между ракетами равна скорости догоняющей ракеты, т.к. убегающая летит перпендикулярно отрезку, их соединяющему.

Ravil89Ravil89

Решить то же самое, но для треугольника и трёх ракет (сторона треугольника - 20 миль, скорости те же) :cool:

aldo63

А в чем проблема? cos60=1/2, значит, ракеты сближаются со скоростью 3/2 v. Каждая ракета пройдет до встречи 2/3 первоначального расстояния, т.е. около 13 миль:

Ravil89Ravil89

А я и не говорю, что есть хоть какие-то мало-мальские проблемы :cool:
Просто интересно посмотреть, кто решит

aldo63

ИМХО интересно было бы добавить в задачу силы инерции и посмотреть, на каком расстоянии от центра ракеты начнут гоняться друг за другом по кругу.

svetik5623190

ИМХО интересно было бы добавить в задачу силы инерции и посмотреть, на каком расстоянии от центра ракеты начнут гоняться друг за другом по кругу.
Видимо, тогда придётся отказаться от условия перпендикулярности скоростей.

k11122nu

наверно, потребуется ввести условие на угловое ускорение, разворачивающее ракету на желаемое направление. Мне кажется, это хороший компромисс между простотой модели и реальной физикой наведения ракеты.

svetik5623190

Можно долго говорить, как будут летать самодаводящиеся ракеты, но известно же, что практика - критерий истины. Нужно ставить натурный эксперимент.

491593

прикольно, красиво

strelok69

самонаводящиеся ракеты детонируют на некотором расстоянии от цели, а не от соударения имхо

tatra

Решение методом "думать вредно, надо писать уравнения" (с):
Пусть расстояние между ракетами равно [math]$l$[/math]. За момент времени [math]$dt$[/math] ракета пролетает расстояние [math]$vdt$[/math], за это время target-ракета уходит на [math]$vdt$[/math] в перпендикулярном направлении. Расстояние между ними становится [math]$\sqrt{(l-vdt)^2+(vdt)^2}$[/math]. Имеем:
[math]$$  dl=\sqrt{(l-v\;dt)^2+(v\;dt)^2}-l = l(\sqrt{(1-v/l \;dt)^2+(v/l \;dt)^2}-1)=l(\sqrt{1-2v/l\;dt+\bar{o}(dt)}-1)=l1-v/l \;dt + \bar{o}(dt-1)=-v dt  $$[/math]
[math]$$  l=l_0-vt  $$[/math]
Значит ракеты встретятся через [math]$t=l_0 / v$[/math].

tatra


— Ну и ответ — 20 миль, т.к. все скорости перпендикулярны.
— Объясни пожалуйста поподробнее
Зря заминусовали 'а. Из того, что скорости перпендикулярны совсем не очевидно, что время=расстояние/скорость. И теоремы я такой не видел ни в школе ни в вузе. Более того, если просто сказать что скорости перпендикулярны, то эта формула будет неверной.
Контрпример: два параллельных отрезка, между ними (и перпендикулярно им) летает точка№1. Почти долетев до одного отрезка, точка№1 разворачивается и летит к другому отрезку. Потом опять обратно. Отрезки - это траектории точки№2, которая дискретно перепрыгивает с одной траектории на другую.
Итак, точка№1 летает между траекториями точки№2 бесконечное время. Вполне разумно предположить, что если точка№2 будет переходить между траекториями не дискретно, а очень быстро менять непрерывную траекторию, то время до столкновения будет расти.

aldo63

Но задача-то не такая, как ты написал.

tatra

ты свел задачу к достаточности перпендикулярности скоростей. Я показал, что этого условия недостаточно.

aldo63

В данной конкретной задаче — достаточно. Всяких чудачеств напридумывать можно сколько угодно, и если бы они в задаче были, я бы их, несомненно, учел. Но их не было.

tatra

В данной конкретной задаче — достаточно
Докажи, пожалуйста, это утверждение.

aldo63

Ты не понимаешь, что это не "математическая задача" в строгом смысле этого слова? И что, следовательно, некоторые вещи должны приниматься априорно? В частности, априорно принимаются те условия, для случая которых приведено уже два решения.

tatra

Это именно математическая задача. Решение с радиальной проекцией красиво и математически строго.
Как минимум три человека в этом треде не постеснялись спросить почему перпендикулярности достаточно. Нежели ты думаешь, что все они просто-напросто тупицы. Ты, похоже, и сам не абсолютно уверен в своем утверждении, иначе уже бы меня заминусовал :)

aldo63

Вот кстати решение с радиальной проекцией я не совсем понял — хотя в правильности его не сомневаюсь. Почему из того, что форма фигуры (квадрат) сохраняется, следует постоянство радиальной скорости? Квадрат может, например, и равноускоренно сжиматься.
Они не тупицы, и им хватило простенького объяснения. Возможно, дело здесь в том, что задача сформулированна в "физических" терминах, а с точки зрения физика решение через перпендикулярность скоростей совершенно очевидно.
Не, я хорошие посты не минусую :) А в решении я уверен — оно ведь уже оказалось правильным.

tatra

равноускоренно сжиматься
Ну для оценки времени ускорение не важно, а важна скорость. Скорость направлена по стороне квадрата(хоть сам квадрат и динамичен проекция скорости на диагональ равна [math]$v/\sqrt2$[/math] - это и есть радиальная проекция. (а ускорение равно производной скорости, т.е. нулю). И диагональ уменьшается с этой скоростью.
решении я уверен — оно ведь уже оказалось правильным
правильным оказался твой ответ, а решение под сомнением.
Вообще кроме перпендикулярности еще как минимум важно(похоже и достаточно, но как раз здесь надо будет доказывать) равенство скоростей (и не только для симметричности картинки). Еще один мысленный эксперимент, чтоб пошатнуть твою интуицию, - представь ситуацию, в которой убегающая ракета имеет заметно большую скорость, чем догоняющая. Ракеты движутся перпендикулярно друг другу, но раскручиваются "вовне" по спирали. (Здесь правда косяк будет с четвертой, самой быстрой ракетой, но пусть она направлена будет не на первую, а куда-нибудь "наружу"). Картинка почти та же, все перпендикулярно, но никто не сталкивается.

aldo63

Да, с решением nobody я понял, спасибо.
Ну какие могут быть проблемы? Мысленный эксперимент хороший, но опять же, он не имеет отношения к задаче.
Из чего я исходил? Пространство обыкновенное, траектории ракет — гладкие кривые (логарифмические спирали, если не ошибаюсь?); с физической точки зрения ситуация ясна — задача симметрична, в СО, связанной с любой ракетой, цель будет приближаться с постоянной скоростью. Все прозрачно.
А в случае твоего примера с летящими наружу ракетами я бы подумал, что получится что-то вроде раскручивающихся логарифмических спиралей, и стал бы решать формально, или забил бы.

tatra

цель будет приближаться с постоянной скоростью
Вот это утверждение как раз и спорно. И то что оно является следствием симметричности и перпендикулярности (по крайней мере мне) не очевидно.
Вообще я согласен с тем, что это утверждение физически красиво и, что очень хочется в него верить. И плюсов тебе за решение понаставили много. Может у меня неправильное восприятие пространства и подпорченная интуиция :)

aldo63

В математике такая интуиция вредна :grin:

gvkonder

Контрпример: два параллельных отрезка, между ними (и перпендикулярно им) летает точка№1. Почти долетев до одного отрезка, точка№1 разворачивается и летит к другому отрезку. Потом опять обратно. Отрезки - это траектории точки№2, которая дискретно перепрыгивает с одной траектории на другую.
Вы тут не :cn: со своими ракетами, мало что мгновенно разворачивающимися, так ещё и прыгающими?
Это не контрпример. Всего лишь три вопроса:
1) Какая скорость у ракеты 1 в момент разворота?
2) Какая скорость у ракеты 2 в момент прыжка с одного отрезка на другой?
3) Что надо пить, чтобы решить, что эти скорости (если можно так сказать) будут перпендикулярны друг другу?
Кстати, есть контрпример гораздо легче. Нулевой вектор - он же направлен куда угодно?
Возьмём те же самые четыре ракеты, только пусть они летят очень медленно - с нулевой скоростью. Утверждение "до их встречи они пролетят по 20км" неверно, значит, это опровергает то утверждение про перпендикулярность.
Да, и ещё. Совершенно незачем шаманить с такими "ненастоящими" движениями. Всё гораздо проще.
Или ты учитываешь не только условие "скорости перпендикулярны", но и условие "каждая ракета нацелена на другую" - и твой контрпример тут же рушится, потому что он этим не соответствует, обе ракеты летают по каким-то своим делам, друг к другу отношения не имеющим.
Или не учитываешь - тогда возьмём две ракеты, одна в точке 0,1, другая - в 1,0, обе летят в начало координат. Скорости - перпендикулярны, исходное расстояние - корень из двух, до столкновения они пролетят по единице растояния.

491593

Кстати мне стало интересно и я вычислил форму траектории в полярных координатах.
R(alpha)= exp (-alpha).
Кто нибудь с продвинутой физичиской интуицией может правдоподобно поспекулировать откуда это легко следует?

aldo63

Ну это та самая логарифмическая спираль. Легко вытекает из постоянства угла касательной (скорости) и радиус-вектора (сохранение формы квадрата).

491593

а я тока слышал краем уха про логарифмическую спираль, а свойства ее не знал. забавно.

soldatiki

Ну и ответ — 20 миль, т.к. все скорости перпендикулярны.
Щаз... Это одна относительно другой 20 миль пролетит. А относительно земли?

aldo63

Столько же. Где ты раскопаешь дополнительное расстояние, если ракета-цель не удаляется?

491593

Где ты раскопаешь дополнительное расстояние, если ракета-цель не удаляется?
все это рассуждения несколько на пальцах. если строго математически эти рассуждения так же просты, почему не напишешь?

aldo63

[math]S=vt[/math]

491593

мне кажется ( чисто гипотеза) , что ты очень высокого самомнения о себе. угадал?)

Vadim46

если судить по постам, то тут пол-форума такие :grin:

aldo63

Не угадал, я критичен по отношению к себе.
Что касается задачи. Расстояние, которое пройдет ракета (относительно земли, само собой) — это интеграл от скорости ракеты (относительно земли) по времени. Вектор скорости (относительно земли) имеет постоянную величину, равную скорости в СК ракеты-цели (потому что проекция скорости по условию только одна — тангенциальная). Да, этот вектор вращается, но кого это волнует? Время полета фиксировано. Я не знаю, что еще можно добавить.

491593

Честно скажу, я нихрена не понял что написано в твоем последнем посте. С МОЕЙ точки зрения непонятный абсурд. Однако ВПОЛНЕ допускаю, что для других ( в частности для тебя естественно) это строгое и ясное рассуждение. Ну, бывает. :)

aldo63

Извини, конечно, но ты не понимаешь потому, что не хочешь немного подумать. Если тебе сложно сделать это в уме, возьми лист бумаги с карандашом, начерти векторы скорости догоняющей ракеты в неподвижной СО, СО, связанной с ракетой-целью, и убедись ужэ, что это один и тот же вектор, с точностью до знака. В неподвижной СО появится вектор ускорения, направленный перпендикулярно скорости, но нам он, ясное дело, не важен.

Vadim46

Сравни:
20 миль, т.к. все скорости перпендикулярны
Что касается задачи. Расстояние, которое пройдет ракета (относительно земли, само собой) — это интеграл от модуля скорости ракеты (относительно земли) по времени. Вектор скорости (относительно земли) имеет постоянную величину, равную скорости в СК ракеты-цели (потому что проекция скорости по условию только одна — тангенциальная). Да, этот вектор вращается, но кого это волнует? Время полета фиксировано.
Причем во втором варианте еще надо добавить пару строк про то, как вычислить время.

aldo63

Во-первых, оба примера — полноценные объяснения.
Во-вторых, модуль не модуль, суть это не меняет.
В-тертьих, что говорить про время? Учесть релятивизм, что ли?

Vadim46

Во-первых, оба примера — полноценные объяснения.
нет
Во-вторых, модуль не модуль, суть это не меняет.
Интеграл от вектора и его модуля это разные вещи.
В-тертьих, что говорить про время? Учесть релятивизм, что ли?
Его надо посчитать.

aldo63

да
если не :cn: выпендриваться и работать в правильной СО, то вообще никаких интегралов не будет
считается в уме и для всех СО одинаково

Vadim46

согласен
настоящее решение в итоге получается раз в 20 длиннее, чем то, что было написано вначале.

aldo63

В том-то и дело; я и не думал спорить с тем, что мое решение не строгое, и можно решить задачу формально. Мне кажется, большинству физиков мое решение будет очевидно, а математиков его нестрогость, наверное, коробит.

Vadim46

ну кстати только того факта, что скорости перпендикулярны, все равно недостаточно

aldo63

пачиму

Vadim46

ну вот например задачка:
Какое расстояние пролетят ракеты до столкновения?

Ну и ответ 20 км, т.к. все скорости перпендикулярны.

aldo63

:lol:
Мне не пришло бы в голову утверждать, что если скорости двух объектов перпендикулярны, то они всегда столкнутся и пройдут до столкновения 20 миль.

k11122nu

С тем же успехом ты мог бы нарисовать фигурную скобку от ракеты до Плутона и сказать, что это 20 км. Расстояние до цели в твоем случае 14 километров.

Vadim46

до какой цели? до точки столкновения? в исходной задаче оно равно 20/sqrt(2)

Vadim46

а твое первое решение выглядит именно так!

k11122nu

Ничего подобного. В исходной задаче ракета видела цель на расстоянии 20 км, и цель приближалась к ней равномерно с какой-то там скоростью, забыл условие.

aldo63

Ну я же предполагал, что кроме решения прочитано еще и условие :)

Vadim46

ну вот, как минимум существенно используется тот факт, что скорости ракет направлены друг на друга

unlim7729

А реши плз такую задачу. Одна ракета летает по окружности радиусом 20 миль со скоростью 1 миль/сек. Вторая ракета имеет такую же скорость, направлена постоянно на первую и начинает свой полёт из центра окружности. Какое расстояние пролетит 2-ая ракета до их встречи ? :)

aldo63

[math]$10\pi$[/math]

kachokslava

pi

unlim7729

А как же рассуждения, что
вектор скорости 2-ой ракеты в любой момент времени направлен на другую ракету. Тут как ни крути, она не может пройти другого расстояния кроме того, которое было изначально — 20 миль. Она в каждый момент занята только тем, что приближается к своей цели, а как ведет себя эта цель нас не должно занимать.
Да, поясню. Нас это не должно занимать как раз потому, что цель не удаляется от ракеты, т.к. ее скорость перпендикулярна скорости ракеты.
?

kachokslava

в этой задаче скорости перпендикулярны только в первый момент. в остальное время они не перпендикулярны

491593

а математиков его нестрогость, наверное, коробит.
как понять коробит. я просто не понял решение совершенно.
но я тупой, я в курсе. :)

491593

короче такой вопрос, математически записанное решение -a будет таким же коротким или это сделать принципиально невозможно?

gvkonder

В математической записи придётся формализовать и доказывать совершенно очевидные для объяснения на пальцах вещи. Так что, конечно же - нет.

491593

просто ляпнул что ли от нефиг делать? какой именно обьект, связанный с задачей, до сих пор не формализован?

gvkonder

Не "объект", а вещи, связанные с решением.
Т.е.
20 миль, т.к. все скорости перпендикулярны.
для того, чтобы всё было математически и строго, придётся расписывать на пару страниц.

aldo63

В худшем случае придется решать 8 однотипных ДУ с восемью неизвестными. В лучшем — достаточно записать уравнение для скорости в естественной СО.

491593

все скорости перпендикулярны.
поясни что в этой фразе не формализуется? про ортогональные вектора не слышал что ли?

gvkonder

поясни что в этой фразе не формализуется?
Вс замечательно формализуется. На пару страниц.
В частности, тебе нужно будет доказать, что скорости всегда перпендикулярны - для этого упомянуть о симметрии, о том, что ракеты всегда будут в вершинах квадрата, вот тебе уже строчек пять. Ну и ещё куча на всё остальное.
Я не понимаю, что тебе не нравится? Ты спросил, будет ли решение , записанное математически, с полным и строгим доказательством, таким же коротким (1 строчка тебе ответили, что оно выйдет гораздо длиннее. Ты сейчас хочешь доказать, что полное и строгое доказательство займёт одну строчку (с чем ты исходно не был согласен)? Флаг в руки - давай, напиши тут это доказательство на одну строчку; и, скорее всего, на какой-нибудь олимпиаде тебе за такое доказательство поставят ровно 0 баллов.

491593

В худшем случае придется решать 8 однотипных ДУ с восемью неизвестными. В лучшем — достаточно записать уравнение для скорости в естественной СО.
При чем тут это. У тебя есть короткое физическое рассуждение. Предлагается переделать его в короткое чисто математическое рассуждение, без каких-либо физических понятий вообще.
Скорости заменили на вектора, ракеты на точки .. что именно нельзя формализовать - скажи, я дам формальный математический аналог.

aldo63

Вы утомили ужэ. Если у тебя был курс теормеха и ты помнишь, что такое естественный репер, запиши в нем уравнение для скорости. Строго говоря, я его и написал в этом треде.

491593

Флаг в руки - давай, напиши тут это доказательство на одну строчку; и, скорее всего, на какой-нибудь олимпиаде тебе за такое доказательство поставят ровно 0 баллов.
Мне хорошая идея пришла в голову - а занесу-ка я тебя в игнор. Покедова.

491593

честно говоря не помню что такое естественный репер, и мне кажется никогда не знал )

aldo63

Это система координат, связанная с движущимся телом. Вектор [math]$n_\tau$[/math] — единичный вектор в направлении скорости, вектор [math]n[/math] — единичный вектор в направлении ускорения, вектор [math]$n_b$[/math] — бинормаль, векторное произведение двух первых. Это такая же полноценная СК как и любая другая. В ней сразу ясно, что тело пройдет 20 миль, т.к. цель приближается к началу координат (ракете) вдоль оси [math]$n_\tau$[/math] и никуда с нее не уходит.

gvkonder

У тебя есть короткое физическое рассуждение. Предлагается переделать его в короткое чисто математическое рассуждение
Я что-то не пойму, какая :cn: разница :confused:
Ну то есть, если тебя не устраивают физические термины вроде скорости - тебе надо саму задачу поменять.

491593

а есть формализация этого естественного репера?

aldo63

А есть формализация какого-нибудь другого репера? :grin:
Выражения для скорости и ускорения в нем записываются вполне нормально:[math]$\vec{v}=\dot{s}\vec{n_\tau}$[/math], [math]$\vec{w}=\dot{v}\vec{n_\tau}+\frac{v^2}{R}\vec{n}$[/math]
Что еще нужно?

491593

есть формализация системы координат.
если в области две системы координат, это значит есть взаимно однозначное преобразование на этой области, которое одни координаты переводит в другие и наоборот. Пример - декартовы координаты и полярные.

aldo63

Тебя формулы преобразования интересуют или решение задачи? Ты как математик из задачи про кипячение чайника — пока не сведем задачу к декартовой СК, решить ее нельзя.
Эта СК даже не всегда однозначно определена — например, при равномерном движении вектор ускорения выбирается произвольно. Но иногда она работает.

491593

меня интересует короткое, но при этом математически формальное решение задачи. если такого нет, я не расстроюсь. я ответил на вопрос? :)

aldo63

Чтобы несколько прояснить ситуацию, я переформулирую условия задачи.
Есть две материальные точки — А и В. В начальный момент времени расстояние между ними равно 20 миль. На их движения накладываются следующие ограничения:
1. Вектор скорости В лежит в плоскости, перпендикулярной вектору скорости А.
2. Вектор скорости А направлен на В.
3. По модулю оба векторы равны.
Найти, сколько пройдет точка А до столкновения с В (если вообще столкнется) или доказать, что найти это невозможно.
Думаю, ты запаришься интегрировать все это в декартовой СК.

aldo63

Посмотри на мой пост вверху. Он отвечает на твой вопрос о наличии "математически формального решения задачи"? :)

491593

Посмотри на мой пост вверху. Он отвечает на твой вопрос о наличии "математически формального решения задачи"?
ну это если в лоб делать. такого дополнительного условия я не ставил

491593

На самом деле мне почему то кажеться что не так сложно формальное короткое решение найти. Если Польша-Германия будет таким же унылым гавном я параллельно подумаю.

natunchik

Я читаю и удивляюсь, что за, извиняюсь, херню ты несёшь.
Какое тебе формальное решение нужно? Где ты неформальность видишь?
Есть четыре точки, расположенные в вершинах квадрата. Их скорости направлены по сторонам квадрата, ортогональны, следовательно проекция скорости данной черепашки на вектор от неё до следующей черепашки равна её скорости. Это надо формально выписывать, чему равна проекция вектора на коллинеарный и на ортогональный?
Далее, черепашки продолжают находиться в вершинах квадрата после запуска времени. Из соображений симметрии. Это очевидно? Или нужно формально описывать?
Далее, расстояние между соседними черепашками равно А, проекция скорости, как мы уже выяснили, равна модулю скорости, следовательно время до сингулярности вычисляется делением расстояния на скорость. Формально.

gvkonder

Ну вот, ещё поподробнее и с формулами расписать - и как раз получатся две страницы :)

491593

у тебя написана херня.
Во первых, то что проекция вектора скорости на направление вектора скорости совпадает с вектором скорости - тривиальный факт и верен всегда. Квадрат тут не причем.
Во вторых, никак не используется факт, что скорости соседних ракет ортогональны, а он в решении явно ключевой.
В общем резюме - вывел то, что и так ясно и не использовал то, что использовать необходимо.

491593

проекция скорости, как мы уже выяснили, равна модулю скорости
это по сути написано в условии, как еще интерпретировать фразу " ракета всегда направлена на соседнюю" не представляю. Ну раз ты это еще раз как то выяснил, хорошо.
Вместо неуместной язвительности лучше напиши формальное использование того факта, что скорости соседних ракет ортогональны. У тебя об этом не написано ни слова, иле это тебе и не нужно знать?

491593

вот, я сразу и сказал так. видно же что лажа написана.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: