Что такое кольцо p-адических чисел Z_3?

stm2515023

сабж

Rumata

О p-адических числах немгого есть в книге Кириллова "Что такое число" ftp://elib.hackers/pub/data/vol1/_djvu/M_Mathematics/MT_Number%20theory/Kirillov%20A.%20Chto%20takoe%20chislo%20(ru78s).djvu или лучше посмотрите книгу Коблица "p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции" (не знаю где скачать в электронном виде).

Vitaminka

короче
я могу тебе рассказать доступно
т.к.сдаю спецкурс по этой херне
просто пополнение Q по норме
могу даже задачку решить

stm2515023

Всем спасибо

stm2515023

Меня смущает Z_3. Вроде как Q пополняется по норме я понимаю.
А задачка такая: изоморфны ли кольца p-адических чисел Z_3 и Z_5(она со вступительного экзамена в аспирантурув Независимый за какой-то год).

Vitaminka

изоморфны как кольца или как норм.кольца
то есть я понимаю вся фишка в том, что сходимость в одном кольце не будет сходимостью в другом

CneKTP

>>изоморфны как кольца или как норм.кольца
то есть я понимаю вся фишка в том, что сходимость в одном кольце не будет сходимостью в другом
Поскольку изоморфизм сохраняет произведения, и любой элемент кольца можно получить произведением одного на другой, то я не понимаю, как получается вторая часть твоего утверждения. Поясни, плз, если не влом...

Rumata

кольца p-адических чисел Z_3 и Z_5 изоморфны как кольца или как норм.кольца

Это неверное утверждение. Например для p>2 мультипликативная группа Z*_p изоморфна прямой сумме циклической группы порядка p-1 (группа корней степени p-1 из 1) и аддитивной группе целых p-адических чисел (см. например Серр "Курс Арифметики").

Rumata

Меня смущает Z_3. Вроде как Q пополняется по норме я понимаю.
Вроде ничего не мешает применить процедуру пополнения по p-адической норме к кольцу целых чисел Z. См. например Кириллова.
PS: Можно в конце концов поступить так: пополнить Q, а затем в полученном Q_p выделить подкольцо целых условием v_p(x)\geq 0 (где v_p(x) -- p - адический показатель элемента x - см. Серр, стр 25) - в результате получите то же самое кольцо целых p-адических чисел Z_p

Sanych

Все, что я здесь написал, кажется уже было другими словами написано раньше, но все же.
Z пополняется так же просто, как и Q,
и Z_p является подмножеством в Q_p, состоящим из элементов с нормой не большей 1
Кольца Z_3 и Z_5 неизоморфны уже как абелевы группы, тем более как кольца и как нормированные кольца. Это доказывается не очень сложно.
Например можно рассмотреть уравнение x+x+x=a. В Z_3 оно не обязано иметь решение, а в Z_5 имеет для любого a.

Rumata

можно рассмотреть уравнение x+x+x=a. В Z_3 оно не обязано иметь решение, а в Z_5 имеет для любого a.
Ну да, так еще лучше чем у меня написано
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: