Понравилась задачка - 2

tester1

И снова "олимпиадная" задачка по матану.
Найти сумму по n от 1 до бесконечности f(n) / n(n+1 где f(n)= количество единиц в двоичном представлении числа n

PaPik58

Пусть m - позиция в двоичной записи числе (0 - единицы, 1 - двойки, 2 - четверки и т.п.). Пусть множество N_m - все числа, у которых в двоичной записи на m-той позиции стоит единица.
Если S(m)=\sum_{n \in N_m} 1/n(n+1 то искомая сумма это S= \sum_{m=0}^{infty} S(m).
N_0 состоит, очевидно из чисел: 1;3;5;7;9;...
N_1 состоит из групп по два числа: 2,3; 6,7; 10,11;...
N_2 состоит из групп по четыре числа: 4,5,6,7; 12,13,14,15;...
N_m состоит из групп по 2^m чисел: (2^(m+1*k-2^m, (2^m)*k-(2^m-1 ..., (2^(m+1*k-1, для натуральных k.
S(m)=\sum_{k=1}^{infty} \sum_{i=1}{2^m} \frac{1}{2^(m+1*k-i)*2^(m+1*k-i+1)}= \sum_{k=1}^{infty} \sum_{i=1}{2^m} \frac{1}{(2^(m+1*k-i}-frac{1}{(2^(m+1*k-i+1} =\sum_{k=1}^{infty} \frac{1}{(2^(m+1*k-2^m} - \frac{1}{(2^(m+1*k} = .\sum_{k=1}^{infty} \frac{1}{(2^m2k-1)} - \frac{1}{(2^(m+1*k}
Дальше при подсчете S меняем местами суммирование по m и k - геометрическая прогрессия - имеем
S=\sum_{k=1}^{infty} (2/(2k-1)-2/(2k)}=2(1-1/2+1/3-1/4+1/5-...
 а это стандартный ряд - на первом курсе все считают - что-то типа ln2 получается.

tester1

Красота, спасибо за интерес! :) Хотите ещё?

stm8853410

Если они будут с какой-то периодичностью появляться, будет хорошо.

tester1

Ладно, тогда на днях выложу ещё одну-другую.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: