Производная обобщенной функции

v7e7t7e7r

как они вычисляются? есть ли какой нить общий метод?

demiurg

Через интегрирование по частям.

Valeryk

есть формула обычная для диф.
<(O(x',f(x)>=<(O(x-f(x)'>
так по-моему.

Valeryk

во

где f-обобщенная

v7e7t7e7r

а можно ли посмотреть какие нить примеры вычисления?

Valeryk

ну напрммер производная от тетта-функции
(O(x f(x=-(O(xf'(x=интеграл от 0 до плюс бесконечности от f'(x). т.к f(x) финитная, то получаем f(0)=(D(xf(x
где D(x)-дельта-функция
и получаем.производная от тетта-функции есть дельта-функция

Valeryk

в конце-концов можешь синус продиф. :grin:

v7e7t7e7r

эт типа пи..ец?

Valeryk

нет. это типа косинус получится :grin:

v7e7t7e7r

а как на счет |x|sin(x)? :grin:
ну хотя бы прикинуть... у меня че то в конце 0=0 получается :crazy:

Vlad128

У нормальных функций обычно нормальные производные.

Valeryk

http://ru.wikipedia.org/wiki/%CE%E1%EE%E1%F9%E5%ED%ED%E0%FF_...
можешь ещё Комеча почитать
Ага. Если норм.функцию диф., то получится норм производная. :grin:

Valeryk

и вообще. В тред призывается Гонобобель.
Я совсем не математик если чо
Может ошибаюсь где-то :p

iri3955

[math]$|x|sin(x) = 2x\sin(x)\theta(x) - x\sin(x)$[/math]

svetik5623190

и вообще. В тред призывается Гонобобель.
Значит, так.
Определение. Обобщённая функция - это линейный непрерывный функционал на пространстве пробных функций.
В качестве пробных берут обычно или финитные функции (пространство D) или быстро убывающие функции (пространство S).
Локально интегрируемой (т.е. интегрируемой на любом шаре) функции f можно сопоставить линейный непрерывный функционал на D (т.е. элемент D*, т.е. обобщённую функцию) следующим образом: функции f ставится в соответствие функционал, значение коротого на пробной функции фи равно интегралу от произведения f на фи по R^n (который на самом деле является собственным интегралом, потому что носитель фи - ограниченное множество). Полученная таким образом обощённая функция называется регулярной.
Бывают и сингулярные обобщённые функции, самый классический пример - дельта-функция Дирака.
Любую обобщённую функцию можно дифференцировать сколько угодно раз, формулы написали выше. А вот с умножением обобщённых функций проблема, например, дельта-функцию в квадрат не возведёшь.
Книг по теме масса. Для начала рекомендую "Лекции по функциональному анализу", автор А.Я. Хелемский. Изложено кратко всё основное, кроме того, в книге можно посмотреть относящиеся к вопросу факты из функционального анализа.
Про пространство D вот тебе кусочек из главы "соглашения о топологии" из моего диплома:
[math]Далее мы будем рассматривать пространства пробных функций. Обозначим $$\mathcal{D}_m(\mathbb{R}^d)\stackrel{den}{=}\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^d): \| x \| \geq m \Rightarrow \varphi(x)=0\}, $$ или просто $\mathcal{D}_m$ в случае, если ясно, о каком $d$ идёт речь.[/math]
[math]Пусть $K$ - произвольное открытое подмножество $\mathbb{R}^d$. Обозначая символом $C^{\infty}_0(K)$ множество всех бесконечно-дифференцируемых на замыкании $K$ функций, равных нулю вместе со всеми производными на границе $K$, нетрудно видеть, что $\mathcal{D}_m = C^\infty_0 (B_m)$, где $B_m$ - открытый в $\mathbb{R}^d$ шар радиуса $m$.[/math]
[math]Как обычно, для целых неотрицательных $\alpha_k$ вводятся мультииндекс $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)$ ранга $|\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_d$ и дифференциальный оператор $\partial^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|} }{\partial^{\alpha_1}x_1\dots \partial^{\alpha_d}x_d}$.[/math]
[math]Вещественное линейное пространство $\mathcal{D}_m$ можно наделить (стандартной для него) топологией, снабдив счётным набором норм $$\|\varphi\|_n = \max\limits_{0\leq |\alpha|\leq n} \ \max\limits_{\|x\|\leq m}\ |\partial^\alpha \varphi(x)|.$$ В этой топологии базисом открытых окрестностей нуля служат множества $\{\varphi\in\mathcal{D}_m:\|\varphi\|_n<\varepsilon\}$, каждое из которых задаётся двумя числами: $n\in\{0,1,2,\dots\}$ и $\varepsilon>0$.[/math]
[math]Последовательность $\{\varphi_j\}\subset\mathcal{D}_m$ сходится к $\varphi\in\mathcal{D}_m$ тогда и только тогда, когда для всех мультииндесов $\alpha$ c $|\alpha|=0,1,2,\dots$ имеет место $$\lim\limits_{j\to\infty}\ \max\limits_{\|x\|\leq m} \ |\partial^\alpha \varphi_j(x)-\partial^\alpha \varphi(x)| \ = \ 0.$$ Поскольку топология в $\mathcal{D}_m$ задаётся счётным числом норм, то оно метризуемо, и поэтому понятия замкнутости и секвенциальной замкнутости для множеств в нём совпадают.[/math]
[math]На линейном пространстве $\mathcal{D}=\bigcup\limits_{m=1}^\infty \mathcal{D}_m$ зададим стандартную для него топологию локально-выпуклого индуктивного предела пространств $\mathcal{D}_m$ относительно вложений $\mathcal{D}_m\subset\mathcal{D}$. В этой топологии базис открытых окрестностей нуля состоит из множеств  $$\biggl\{ \varphi\in\mathcal{D}:\ \max\limits_{0\leq |\alpha|\leq j_k} \ \max\limits_{k\leq |x|< k+1}|\partial^\alpha\varphi(x)| \ < \ \varepsilon_k \quad \forall k=0,1,\dots \biggr\},$$ каждое из которых задаётся двумя бесконечными последовательностями: целых неотрицетельных чисел $\{j_k\}$ и положительных чисел $\{\varepsilon_k\}$.[/math]
[math]Последовательность $\{f_n\}\subset\mathcal{D}$ сходится к $f\in\mathcal{D}$ в топологии $\mathcal{D}$ тогда и только тогда, когда $\{f_n\}$ лежит в $\mathcal{D}_m$ для некоторого $m$ и $f_n \to f$ в топологии $\mathcal{D}_m$.[/math]
[math]Пространство $\mathcal{D}$ не метризуемо, и в нём существуют подмножества секвенциально замкнутые, но не замкнутые. Кроме того, существует определённый на замкнутом подпространстве пространства $\mathcal{D}$ разрывный, но секвенциально непрерывный функционал (см. \cite{Sm1} и ссылки там же). Его ядро - пример секвенциально замкнутого, но не замкнутого множества в $\mathcal{D}$.\\[/math]
[math]Поскольку книга А.Н. Колмогорова и С.В. Фомина \cite{KF} до сих пор по праву является стандартным учебником по функциональному анализу, будет не лишним указать на одну не слишком известную неточность, имеющуюся в ней. Для простоты записи рассмотрим одномерный случай (в многомерном случае ситуация идейно та же).[/math]
[math]На прямой на данный момент считается общепринятым определять $$\mathcal{D}(\mathbb{R}^1)=\injlim\limits_n \ \projlim\limits_k\ C^k ([-n,n]$$ в то время как в \cite{KF} авторами указывается для $\mathcal{D}$ более слабая топология, а именно, в \cite{KF} полагается $$\mathcal{D}(\mathbb{R}^1)=\projlim\limits_k\ \injlim\limits_n\ C^k ([-n,n]).$$ По запасу элементов и свойствам сходимости последовательностей эти два определения пространства $\mathcal{D}$ не отличаются.[/math]
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: