Мера шара в бесконечномерном простарнстве

zuenko

Не получается решить задачку.
Нужно доказать, что если мера борелевская вероятностная, пространство сепарабельное банахово бесконечномерное, то найдётся шар(замкнутый) радиуса единица, содержащий нуль сколь угодно маленькой меры. Плюс есть условие, что мера точки нуль равна нулю.

Sergey79

а в чем конкретно не получается? Ты как решаешь?

tsi448

=) неужели меня тоже ждёт такая участь....

svetik5623190

Подразумевается, что мера счётно-аддитивна.
Из бесконечномерности пространства вытекает, что мера не инвариантна относительно сдвигов на элементы пространства..

a7137928

Из бесконечномерности пространства вытекает, что мера не инвариантна относительно сдвигов на элементы пространства..
... тыц ...
Я хотел тебе возразить мерой Хаара, но вспомнил, что такая мера живёт только на локально компактной топологической группе. А бесконечномерное пространство вроде не будет локально компактным. Так что по ходу ты прав.

lena1978

в Википедии пишут, что счетно-аддитивная мера обладает следующим свойством непрерывности:
[math]  $\mu$ is continuous from above: If  $E_1, E_2, E_3, \ldots$ are measurable sets and $E_{n+ 1}$ is a subset of $E_n$ for all $n$, then the intersection of the sets $E_n$ is measurable; furthermore, if at least one of the $E_n$ has finite measure, then $\mu ( \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} E_i ) = \lim\limits_{i \to \infty} \mu (E_i)$  [/math]
Занумеруем единичные шары, у которых центры лежат на осях и удалены от нуля на 1, в последовательность [math]$K_i$[/math]. Постоим из них следующую последовательность множеств: [math]$E_1 = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}(K_i)$, $E_2 = \bigcup\limits_{i=2}^{\infty}(K_i)$, $E_3 = \bigcup\limits_{i=3}^{\infty}(K_i)$, $\ldots$ [/math]. Такая последовательность множеств удовлетворяет условиям из википедии, значит предел [math]$\lim \mu (E_i) = 0$[/math] (так как общее пересечение у них - точка 0). Ну все, значит с какого-то номера мера множества из последовательности становится меньше эпсилона, а так как каждое множество содержит целые шары, то шары тоже все тощее и тощее становятся.
Чо-то у меня какая-то неуверенность, банаховость нигде не пригодилась вроде.

vitamin8808

найдётся шар(замкнутый) радиуса единица, содержащий нуль сколь угодно маленькой меры.
содержащий чего?

griz_a

Непонятно, что ты доказал, но в любом случае ты пользуешься тем, что мера одного из Ei конечна, а это не видно откуда берется

vokus

У нас мера верояностная. Мне, правда, не понятно, почему у единичных шаров по как-то выбранным осям общая точка --- только ноль.

lena1978

не знаю. наверно надо как-то хитрее шары строить. нужно, чтоб каждая точка, отличная от нуля, лежала только в конечном числе шаров. лемма о почти перпендикуляре здесь никак не поможет?

491593

у тебя в рассуждении сразу несколько различных ошибок, неохота указывать на все, просто свежим взглядом еще раз посмотри. Для удобства обнаружения ошибок рассмотри контрпример - любая вероятностная мера на R эквивалентная Лебеговской.

zuenko

Я хотела использовать, что борелевская мера вероятностна в сепарабельном б п радонова, т.е. апроксимируется компактами. Предложила научнику "решение": Понятно, что компакт в бесконечномерном б.п. нигде не плотен, но что его линейная оболочка тоже нигде не плотна - это я была не права. :( Научник написал - рассматривайте выпуклые компакты, выпуклая оболочка компакта - компакт.
Рассмотрим всё пространство без нуля - это открытое множество единичной меры, значит в нём найдётся компакт меры 1-дельта, рассмотрим замкнутую линейную оболочку этого компакта, можно показать, что это подпространство нигде не плотно, значит для любого эпсилон можно построить почти перпендикулярный вектор, расстояние от которого до подпространства не менее 1-эпсилон, и сдвинуть шарик единичный с центром в нуле вдоль этого вектора. Этот шарик, вообще говоря, будет пересекать компакт, но "очень мало": можно рассмотреть последовательность эпсилонов, стремящуюся к нулю, и соответствующих шариков, построенных сдвигом на эпсилон-перпендикуляр. Тогда начиная с некоторого номера шары будут пересекаться с подпространством не больше, чем, скажем, по два эпсилон окрестности нуля. И когда два эпсилон меньше, скажем, половины расстояния от компакта до нуля, то шары уже не пересекаются с компактом, а значит, имеют меру меньше дельта, так как мера с точность до дельта сосредоточена на компакте.

svetik5623190

Люб, два-три предложения, состоящие из нечётих намёков и идей читаются более-менее легко, но такой большой кусок текста трудно читать, если он хотя бы немного не формализван в духе "пусть Е - банахово пространство, [math]$\mu$ [/math] - вероятностная борелевская мера на нём, ну и т.п."
Верно ли твоё рассуждение - хз, не вник (во многом из-за выбранного тобой стиля оформления да голова сейчас совсем другим занята.
Но спасибо что популяризуешь задачку :)
Кстати если ты не в курсе, то можно использовать ТеХ на форуме, например [math]$\mu$ [/math] было набрано с помощью такой вот записи:
 [math]$\mu$ [/math]  

491593

рассмотрим замкнутую линейную оболочку этого компакта, можно показать, что это подпространство нигде не плотно
Непонятно... У меня почему то сразу контрпример возник.

lena1978

я видимо совсем туп, причем тут мера на R? :confused:

491593

а где у тебя используется бесконечномерность

lena1978

а мы можем как-нибудь посторить последовательность единичных шаров, задевающих ноль, так, что каждый шар пересекается с предыдущими только в эпсилон-окрестности нуля? тогда можно подобрать эпсилон такой, чтобы мера эпсилон-окрестности была бы меньше дельты, и тогда вроде всё сойдется.

zuenko

В ответ на:
рассмотрим замкнутую линейную оболочку этого компакта, можно показать, что это подпространство нигде не плотно
Непонятно... У меня почему то сразу контрпример возник.
я же писала, что моё доказательство неверно, именно по этой причине, что линейная оболочка компакта может совпасть со всем пространством

Irina_Afanaseva

может совпасть со всем пространством
может оказаться плотна. совпасть не может в бесконечномерном банаховом
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: