Sir Michael Atiyah о различии между геометрией и алгеброй

b4331

Следующий отрывок является частью статьи одного из крупнейших математиков XX века Michael Atiyah "Mathematics in the 20th Century" (полный английский текст оригинальной статьи можно найти на моем компьютере, нижеследующий отрывок перевел я, с сокращениями ).
"Позвольте мне объяснить мой собственный взгляд на различие между геометрией и алгеброй. Геометрия, конечно, относится к пространству, об этом не может быть вопросов. Если я смотрю на публику в этой аудитории, в одну отдельную секунду или микросекунду я получаю большое количество информации, и это конечно не случайно. Наш мозг был сконструирован таким образом, что он чрезвычайно задействован в зрении. Зрение использует что-то около 80 или 90 процентов коры мозга. Имеется около 17 различных центров в мозге каждый из которых специализирован на определенной части процесса вИдения: некоторые части имеют отношение к вертикальному, некоторые части к горизонтальному, некоторые участвуют в цветовосприятии, в восприятии перспективы, наконец некоторые части связаны со смыслом и интерпретацией. Поэтому пространственная интуиция и пространственное восприятие являются чрезвычайно мощным средством и это объясняет причину по которой геометрия действительно является такой могущественной частью математики -- не только для вещей, имеют очевидную геометрическую природу, но и для тех для которых это не так. Мы пытаемся придать им геометричекую форму потому что это делает возможным использование нашей интуиции. Наша интуиция есть наиболее мощное средство. Это становится ясно если мы пытаемся обяснить какой-нибудь фрагмент из математики студентам или коллегам. Вы приводите длинное и трудное рассуждение и в конце студент понимает. Что он при этом говорит? Студент говорит "я вижу!" ("I see!"). ВИдение есть синоним понимания и мы используем слово "восприятие" ("perception") одновременно для обозначения обоих этих вещей. По крайней мере это верно для английского языка. Было бы интересно сравнить с другими языками. Я думаю, что это очень фундаментальная вещь, что человеческое сознание (разум) развил эту огромную способность к восприятию огромного количества информации посредством мгновенной зрительной акции и математика использует и совершенствует эту способность.
Алгебра, с другой стороны, больше связана со временем. Каким бы разделом алгебры вы ни занимались, вы выполняете последовательность операций одну за другой, и последнее означает что вам требуется время. В статической вселенной вы не можете вообразить алгебру, в то время как геометрия по природе статична. Когда я говорю "Алгебра" я имею в виду не только современную алгебру, но любой алгоритм, любой процесс вычислений.
Алгебра имеет дело с манипуляциями во времени, в то время как геометрия имеет дело с пространством. Это два ортогональных аспекта мира и они представляют две различные точки зрения в математике. Таким образом, спор или диалог между математиками прошлого об относительной важности геометрии и алгебры представляет нечто фундаментальное. Не следует думать об этом споре как о чем-то где одна сторона проигрывает а другая выигрывает. Я хочу представить это в виде аналогии: спросить "Хотели бы вы быть алгебраистом или геометром?" -- то же самое что спросить "Хотите ли вы больше быть слепым или глухим?" В общем, мы предпочитаем иметь оба чувства.
Один из способов поместить эту дихотомию в более философские рамки -- это сказать, что алгебра для геометра является "Фаустовским предложением". Как вы знаете, Фаусту в Гетевской истории дьяволом было предложено все что он хотел в обмен на продажу души. Алгебра -- предложение, сделанное дьяволом математику. Дьявол говорит "Я дам тебе могущественную машину и она будет отвечать на любой заданный вопрос. Все что тебе нужно сделать -- отдать мне свою душу: забрось геометрию и ты получишь эту чудесную машину."
Конечно, мы хотим иметь обе вещи: мы могли бы возможно обмануть дьявола притворившись что продаем свою душу, и не отдать ее. Тем не менее наша душа в опасности, потому что когда вы приступаете к алгебраическим вычислениям, по-существу вы перестаете думать, вы перестаете думать геометрически, вы перестаете задумываться над смыслом.
По-существу целью алгебры всегда было получить формулу, которую можно поместить в машину, повернуть ручку и получить результат. Вы берете нечто, имеющее смысл, вы превращаете это в формулу и вы получаете ответ. В процессе вам не нужно больше думать о том, чему различные этапы вычислений в алгебре соответствуют в геометрии. Вы теряете способность к пониманию смысла ваших действий. Вам нельзя отбрасывать эту способность полностью! Вы можете захотеть вернуться к ней позже. Это тО, что я подразумеваю под Фаустовским предложением. Я уверен, что оно носит провокационный характер.
Этот выбор между геометрией и алгеброй привел к гибридам, в которых они перемешаны, и разделение между алгеброй и геометрией не настолько прямолинейно и наивно как я только что сказал. Например, алгебраисты часто используют диаграммы. Но что такое диаграмма как не уступка геометрической интуиции?"
Что Вы думаете по этому поводу?

andre1941

может дашь ссылку на полный текст?

dimaxd

Залил на форум:

afony

Очень интересный фрагмент. Поставил бы тебе (Вам) 5 баллов, жаль некуда .

b4331

Рад что вам понравилось . Этот текст прислал мне мой друг, живущий нынче в Португалии, чтобы я не скучал . Конец у этой статьи (написанной по живому докладу М. Атьи) , ИМХО, особенно вдохновляющий.

andre1941

Я бы тоже поставил:). Интересно провести такие параллели и в других науках.

b4331

В этом тексте также проводится параллель между теоретической (~геометрия) и экспериментальной (~алгебра) физикой, но это мне показалось более спорным и я этот фрагмент опустил при переводе. Там также сказано, что у истоков геометрического подхода стоял Ньютон, в то время как алгебраического -- Лейбниц (и их продолжателями были Анри Пуанкаре и сейчас например В.И. Арнольд и Давид Гильберт -- Н. Бурбаки соответственно). По правде сказать, себя я позиционирую скорее как алгебраиста. По крайней мере, мне проще объяснять линейную алгебру чем аналитическую геометрию. Хотя мне кажется, что, например, в алгебраической геометрии, даже когда рассматриваются схемы Гротендика, геометрическая интуиция играет очень большую роль (мне кажется, что прелесть языка схем заключается как раз в том, что он позволяет использовать геометрическую интуицию в казалось бы далекой от геометрии алгебраической ситуации, в частности, в алгебраической теории чисел (этот подход, ИМХО, очень хорошо отражен в книге Ю.И. Манина "Аффинные схемы" -изд. МГУ); впрочем об аналогии между римановыми поверхностями алгебраических функций и алгебраическими расширениями поля $\mathbb{Q}$ знали ужЕ классики -- см. лекции Ф. Клейна о развитии математики в XIX столетии так что геометрия и алгебра очень сильно проникают друг в друга в современной математике и мне кажется что М. Атья говорит скорее не об алгебре и геометрии а о формальном и содержательном подходе в математике.

b4331

PS Ко мне вполне можно обращаться на "ты" -- мне нравится такое обращение. А по поводу того, что я Анонимус -- никак не придумаю себе ник -- ведь потом (если он не будет достаточно нейтральным) придется ему соответствовать

Vitaminka

есть способ определить к чем у у человека больше душа лежит к топологии или алгебре
первым больше нравятся собаки, вторым кошки

Ater

Или я чего-то не понял, или это все те же априорные формы старика Канта?

gurich59

Я встречал прямо противоположные случаи, не думаю, что на это стоит опираться.

Vitaminka

исключения всегда есть

afony

Некие сходства есть, и автор конечно же знаком со взглядами Канта. Однако здесь говорится об опоре геометрической интуиции на зрение - основной центр восприятия, а вовсе не на априорные формы. Поэтому, например, евклидова геометрия кажется естественной вовсе не из соображений априорных форм, а как наиболее соответствующая тому, что мы видим.

afony

Мои научные интересы лежат скорее на стыке геометрии и анализа (ТФКП, Геометрическая теория приближений). Наиболее красивые результаты этих теорий получаются как раз из элементарных геометрических соображений. Так, одним из наиболее мощных инструментов теории однолистных функций является принцип площадей, который состоит лишь в том, что площадь неотрицательна. Углядеть же неотрицательность алгебраического выражения на четверть страницы иначе бывает просто невозможно.
Помимо этого я преподаю геометрию в школе. Ту сделку, о которой пишет Атья, школьникам просто навязывают даже в хороших школах. Достаточно вспомнить очень сильное с психологической точки зрения и довольно бесполезное на практике утверждение, что любая теорема планиметрии может быть доказана методом координат. А потом еще удивляются, почему геометрия становится непонятной и никому не нужной наукой. Ведь на самом деле это утверждение вполне аналогично тому, что все действия, которые можно совершить при свете вполне можно сделать и в темноте. Вот только на практике это приводит к получению шишек и синяков.

Ater

Как заметил сам автор, видеть и понимать обозначаются одним словом на английском языке. Про другие языки автор не знает. На русскм видеть и понимать -- не одно слово. Поэтому лингвистический финт ушами не проходит.
А то что геометрия в определенной мере связана со зрением -- это, на мой взгляд, очевидно. Луч света, напрмер, -- это "почти" прямая.
Все таки мне кажется, что приведенный отрывок -- это лишь переложение Канта.

afony

На русском языке можно сказать:"Я вижу, что Вы были правы", т.е. некоторая аналогия между вижу и понимаю есть даже у нас. В приведенном отрывке текста нет упора на априорность. Связь геометрии и зрения действительно очевидна (не даром первые доказательства греков состояли из рисунка и слова "смотри" но к сожалению даже в наше время приходится доказывать очевидные вещи: без геометрии математика лишается глаз.

stas911

Так скажет визуал, кинестетик(я, например) скажет - "Я чувствую, что вы правы", итд, какие там ещё типы. Но это уже совсем оффтопик.

afony

Фраза:"Я чувствую, что Вы были правы" скорее соответствует "Мне кажется, что Вы были правы". Так что это действительно оффтопик. Кантор, доказав, что точек в квадрате столько же, сколько и в отрезке, сказал :"Вижу, но не верю". Причем здесь "вижу" значило "имею доказательство".

Ater

Связь "вижу" и "понимаю" действительно есть. Но, как мне кажется, она не так "сильна", как в английском. Это они там все "See, see".
Нет, я не против геометрии. Сам я физик, в общем то теоретик. Но скажу честно даже евклидову геометрию мне приходится применять крайне редко. Можно сказать, что за исключением самых "алгебраических" теорем -- Пифагора, синусов, косинусов и т.д. Но то, что геометрия полезна, ее знание необходимо -- я тут спорить не буду. Хотя оно необходимо не в реальном физическом исследовании скорее, а как тренировка ума.

afony

В тексте геометрия фигурирует в более широком смысле чем просто евклидова геометрия: непосредственное восприятие форм, связей, закономерностей, без использования аналитики и сведения к численным выражениям. В этом смысле геометрия практически вездесуща .

Ater

Ну, если геометрию понимать, как "геометрический" взгляд на мир, то все, что угодно говорить можно...

stas911

в таком случае, геометрия в этом смысле намного ближе к таким разделам алгебры, как теория групп, например, чем к аналитической геометрии.

Ater

Именно это и имеется в виду.

Vitaminka

я вижу - говорят визуалы (из НЛП)
так же можно сказать я чувствую - кинестет
так что это херня все, просто подтверждается что т.к функция зрения занимает большую часть мозга, то и на речь у многих она тоже влияет

b4331

По поводу связи между нашим повседневным опытом (и развитием соответствующего раздела мозга) и математикой вспоминается еще одна цитата, которую приводят А.И. Кострикин и Ю.И. Манин в своем учебнике "Линейная алгебра и геометрия"
при обсуждении структуры группы $SO(3)$: "Не правда ли, странно, что, живя в трех измерениях, мы все же с трудом воспринимаем, что произойдет, если сперва повернуться так, а потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами и если бы на собственном опыте знали, что бывает, когда все время крутишь разные сальто в пространстве, нам было бы легче воспринимать подобные вещи". (Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс Фейнмановские лекции по физике, вып. 8, гл. 4).
Тут, согласно Атиа, присутствует не только геометрия, но и алгебра (последовательное выполнение операций) -- не потому ли теория групп Ли лежит на стыке Алгебры и Геометрии?
to Umka: а кого же тогда (кошек или собак) любят алгебраические топологи?

stm483609824

Просто математиков уже нет ?
А то, что говорит Атья в представленном отрывке, думаю, было известно еще классикам.

tongan

Извечное противостояние

Ater

А откуда эта статья взята? Может быть известно в каком сборнике напечатана?

kravecnata

M. Atiyah. Mathematics in the 20th Century. Bull. of the London Math. Soc. 34 (2002) 1-15.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: