Задача по физике

v7e7t7e7r


товарищи, помогите разобраться в задаче номер 2. как решать? пожалуйста

unlim7729

А чего именно тебе непонятно?
Почитай в книжке про градиент, дивергенцию, ротор, дивергенцию от градиента, ротор от градиента, лапласиан :)
Или тебе непонятно, что такое потенциал поля скоростей? Ну это тоже самое что и потенциал электростатического поля. Знаешь как из потенциала электростатического поля получить его напряжённость? Ну со скоростью тоже самое.

v7e7t7e7r

как все это связанно с началом координат? и как вообще получить количество жидкости?

sashok01

потенциал U=ln r, значит, сама скорость движения жидкости v равна (dU/dx,dU/dy) = (x/r^2, y/r^2) - направлено от центра координат. Заметим, что div v =0 всюду в точках дифференцируемости (т.е. кроме начала координат)
Пусть контур L ограничивает область [math]$\Omega$[/math], которая содержит начало координат. Выделим внутри этой области круг [math]$S_\varepsilon$[/math] радиуса [math]$\varepsilon$[/math]. Окружность, соответствующую этому кругу, назовём [math]$D_\varepsilon$[/math]. Область, полученную вычитанием [math]$S_\varepsilon$[/math] из [math]$\Omega$[/math], назовём [math]$\Omega_\varepsilon$[/math]. Контур, ограничивающий [math]$\Omega_\varepsilon$[/math], назовём [math]$L_\varepsilon$[/math]
Количество жидкости, протекающей через контур в единицу времени, равно
[math]   \begin{equation*}  \oint_L (v, n) \, dl = \oint_{D_\varepsilon}(v, n) \, dl +  \oint_{L_\varepsilon} (v,n) \, dl = \oint_{D_\varepsilon}(v, n) \, dl+ \iint_{\Omega_\varepsilon} div \,v \, dS =\oint_{D_\varepsilon}(v, n) \, dl  = \oint_{D_\varepsilon}1/r \, dl = 2\pi \varepsilon 1/\varepsilon = 2\pi  \end{equation*}  [/math]
Для контура [math]$L'$[/math], не содержащего начало координат и ограничивающего область [math]$\Omega '$[/math], можно сразу применить теорему Гаусса-Остроградского и получить
[math]   \begin{equation*}  \oint_{L'} (v, n) \, dl =  \iint_{\Omega '} div \, v \, dS = 0  \end{equation*}  [/math]
ЗЫ: циркуляцию сам считай :)

unlim7729

ты физик или математик? :)

v7e7t7e7r

ты кому?

v7e7t7e7r

ребята, как считать циркуляцию? пробовал. не получается

unlim7729

Ноль должен получиться :)
З.Ы. Формулу Стокса используй.

seregaohota

Если не ошибаюсь это фундаментальное решение ур-я Лапласа в 2мерн случае с точки зрения математики. Начало координат - источник, или сток. Как в ванной дырка куда вся вода утекает или втекает в зависимости от знака.
Поток будет равен расходу воды, если охватывает источник, если нет - будет 0. Для электростатики это теорема Гаусса если не ошибаюсь что поток вектора напряжённости через поверхность равен сумме зарядов внутри умноженной на что-то там. Правда у тебя 2мерный случай, и один заряд в начале координат.
Циркуляция, ну я не знаю, на википедии что ли посмотри При подсчёте перейди к полярным координатам
(что получится тебе уже писали - намёк: у тебя поле безвихревое)

v7e7t7e7r

Количество жидкости, протекающей через контур в единицу времени, равно
[math] \begin{equation*} \oint_L (v, n) \, dl = \oint_{D_\varepsilon}(v, n) \, dl + \oint_{L_\varepsilon} (v,n) \, dl = \oint_{D_\varepsilon}(v, n) \, dl+ \iint_{\Omega_\varepsilon} div \,v \, dS =\oint_{D_\varepsilon}(v, n) \, dl = \oint_{D_\varepsilon}1/r \, dl = 2\pi \varepsilon 1/\varepsilon = 2\pi \end{equation*} [/math]

как 1/r получили, объясните пожалуйста. Если такой интеграл, то там же должен натуральный логарифм вылезти.

unlim7729

/r - это скорость. Её получили путём взятия градиента от потенциала поля скоростей. В векторном виде всё, естественно.
( v , n ) - это проекция вектора скорости на нормаль к выбранному контуру, через который мы и хотим посчитать поток жидкости.

unlim7729

Если такой интеграл, то там же должен натуральный логарифм вылезти.
Это ж криволинейный интеграл.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: