Задача по математике

naami_moloko

Пусть a - иррациональное, почему последовательность из {na}, где n из Z, {*}=*mod(1) плотна в [0, 1]? Может кто-нибудь знает простое решение?

milana1

смотря для кого простое
самое короткое - воспользоваться теоремой Пуанкаре о возвращении

fatality

любимая задачка Арнольда - о всюду плотности мн-ва итерированных углов, несоизмеримых с 2pi, на окружности - у нее много вариантов (от стрельбы из начала координат на плоскости под углом с иррац. тангенсом до иррациональных обмоток тора). простое решение есть в его Обыкновенных дифф. уравнениях - если нет, залью тебе книжку или опишу решение.

naami_moloko

Прочитал эту теорему (про фазовый объем и про непрерывное взаимнооднозначное отображение многообразия в себя? Она? только при чём здесь она?

naami_moloko

О, ок, Арнольда сам найду, а эта задача мне и нужна была для доказательства плотности иррациональной обмотки тора

fatality

не слушай ты его... этот флудер имел в виду соотв. твоей задаче динамическую систему с дискретным временем

milana1

она.
многообразие - окружность, отображение - поворот окружности

naami_moloko

Брр, название параграфа в котором есть эта теорема? Не могу найти по Арнольд ОДУ, 4е издание.

fatality

параграф 24 - случай чисто мнимых собственных чисел. часть 3

naami_moloko

Да-да-да, нашёл! Спасибо!

margo11

Чтобы доказать всюду плотность, надо показать, что для любого x из [0,1] и для любого t > 0 найдется такое n, что {na} находится на расстоянии менее t от x. Вроде так. Фиксируем x. Фиксируем t > 0. Т.к. все точки вида {na} различны, то, отметив более чем 1 + 1/t точек, мы найдем, что некоторые две из них будут на расстоянии менее t. Пусть это {un} и {vn} и u > v. Тогда 0 < {(u-v)a} < t. Теперь рассмотрим числа {k(u-v)a} для k = 1, 2, ... отмечая их на отрезке, мы будем шагать по нему с шагом меньше t, а, значит, попадем и в t-окрестность x.

zuzaka

Риспект

blondino4ka47

Он уже нашел эту задачу в Арнольде, если что...

naami_moloko

Угу. У Арнольда так же точь-в-точь. Всем большое спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: