Посчитать вычеты в особых точках

Marina32

Функция cos[(z^2+4z-1)/(z+3)]
По определению(разложить в ряд Лорана)- невозможно.
А как еще можно?
Кто решит- получит +5.
Заранее благодарен за помощь

elektronik

Можно посчитать интеграл...

Marina32

по единичному кругу?

elektronik

Да, по кругу (с центром в нашей особой точке z=-3) радиуса такого, чтобы внутри него была только эта особая точка - чтобы не было других особых точек!
Только этот интеграл нужно ещё разделить на 2\pi i!

Marina32

понял, спасибо.
но, думаю, что вычисление этого интеграла тоже не будет легким...
еще варианты? желательно попроще...:)

elektronik

На самом деле, это определение вычета, а соответствующий коэффициент в ряде Лорана - следствие =)
Сейчас попробую интеграл вычислить...

fatality

радиуса такого, чтобы внутри него была только эта особая точка - чтобы не было других особых точек!
пардон... а вы считаете, что там есть другие особые точки?

Marina32

На самом деле, это определение вычета, а соответствующий коэффициент в ряде Лорана - следствие =)
да я в курсе...

elektronik

Ну, ко мне можно на "ты".
А вообще, я говорил не для данного случая, а как бы общий алгоритм

plugotarenko

Я бы все-таки раскладывал в ряд Лорана.

plugotarenko

Можно посчитать коэффициет при -1 степени.

fatality

Согласен. Это проще.

Marina32

ну, тяжеловато разложить в ряд Лорана такую функцию....
а есть какие-нибудь хитрые методы?

plugotarenko

дробь, которая под косинусом (z+3)-2-4/(z+3)
ряд для косинуса 1-x^2/2+..+(-1)^n x^2n/2n! при возведение выражения под косинусом в степень 2n, -1 степень при z+3 будет только у слагаемого n 2^{2n-1}4/(z+3)
Осталось их просуммировать, это почти ряд для синуса.
Ответ, если я не ошибся 8(1-sin2)

fatality

Вычисление вычетов в полюсах, как известно, сводится к подсчету пределов. Это просто. как правило. Здесь мы имеем дело с существенно особой точкой, поэтому упрощения возможны только за счет использования специф. свойств самой функции. Например, попробуйте представить многочлен в аргументе косинуса как сумму простых дробей. затем примените теорему сложения для косинуса и разложите каждый полученный косинус в ряд Лорана в точке -3. Посмотрите, какой суммарный коэффициент при минус 1й буде.

griz_a

А разве бесконечность не особая?

fatality

Да, что-то в таком духе

plugotarenko

Повторный подсчет показал -4sin2. Давненько я вычеты не считал.

fatality

В постановке речь шла о вычетах в изолированных особых точках, как я понимаю

Dr_Jones

ряд для косинуса 1-x^2/2+..+(-1)^n x^2n/2n!

угу. вспоминаем теперь область сходимости этого ряда.

plugotarenko

Вспоминай.

Dr_Jones

я его помню.

Marina32

ряд для косинуса 1-x^2/2+..+(-1)^n x^2n/2n! при возведение выражения под косинусом в степень 2n, -1 степень при z+3 будет только у слагаемого n 2^{2n-1}4/(z+3)

объясни, плз, поподробнее, как у тебя получился такой общий вид этого члена?
какой ты брал биномиальный коэффициент?

plugotarenko

Там мультомиальные коффициенты получаются.
Там получается не ряд, а табличка, я не все члены учел.
Ее суммирование требует кучу аккуратности, у меня ее нет.

nani75

мож хватит флудить кто знает опу, помогите в соседней теме:

Marina32

вот! то есть там не -4sin2 получается?

plugotarenko

Нет. я ошибся. это только один столбец в этой таблице.

Marina32

поэтому я и спрашивал..ладно, все равно спасибо!
+5

Marina32

а где ты эту таблицу нашел?

Dr_Jones

так, да что там насчёт области сходимости ?
почему мы имеем право разлогать косинус в ряд тейлора в нуле в близи бесконечности ?

plugotarenko

Я же не в бесконечности ряд суммирую, а в ее окрестности. В этой окрестности ряд сходится к косинусу все в порядке. 1/z^2 расскладывается в ряд Лорана в проколотой окрестности 0. Данная функция в проколотой окрестности бесконечности.

Dr_Jones

а там что-то было про круг радиуса 1 вс центом в точке 0.
нет разве ?

plugotarenko

Просто смотришь, где получается -1 степень у z+3. Это в тех сомножителях, где степень при 4/z+3 на одну больше, чем у z+3. Если мы возводим выражение в степень 2n, то будет ровно n различных таких слагаемых. Всю их совокупность для всех n, я и назвал табличкой.

Marina32

это я понял
Все-таки не существует метода попроще?

griz_a

А если кроме Inf и -3 нет других, то обе, очевидно изолированные, разве нет?

fatality

обычно говорят - вычет в изолированной конечной точке/вычет относительно бесконечности. Конечно, на пополненной С разница между ними стирается. Просто автор бы уточнил, полагаю, если бы ему нужен был вычет в беск. удаленной точке.

griz_a

Да? А по-моему изолированные особые точки, это когда в их окрестностях нет других особых.. В данном случае бесконечность вполне особая. Мало того, при подсчете интегралов с помощью вычетов бесконечность всегда учитывается, даже если она устранимая. Ну а как раскладывать в ряд Лорана без бесконечности мне вообще не совсем понятно.

fatality

А по-моему изолированные особые точки, это когда в их окрестностях нет других особых..
кто же с этим спорит?
Мало того, при подсчете интегралов с помощью вычетов бесконечность всегда учитывается, даже если она устранимая. Ну а как раскладывать в ряд Лорана без бесконечности мне вообще не совсем понятно.
речь не о том, хороша или нет компактифицированная комплексная плоскость. И не о равноправии особых точек в такой модели С. Речь была о том. что человеку НУЖЕН БЫЛ вычет в изолированной конечной особой точке -3, а не на бесконечности. Он бы написал уже, если бы имелось в виду другое. Да и я уже повторяюсь.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: