[Слупы] Интеграл от Wt по dt

soldatiki

Сорри за тупой вопрос, если что, но...
Чему равен интеграл от 0 до T от винеровского процесса W(t) dt?
Я так понимаю, что получается новый случайный процесс, и про него что-то известно, типа среднего и дисперсии.
ПС. А что не так с формулами? Почему в предварительном просмотре картинка с восклицательным знаком отображается?
[math]\int_0^T W(t) dt[/math]

griz_a

Да, получится некий гауссовский случайный процесс, про которого можно что-нибудь сказать.
Матожидание у него 0, а ковариационную функцию легко найти из изометрии Ито: при t<s
[math]$E(\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} W_u W_v du dv) = \int_{0}^{t} \int_0^{s} \min(u,v) du dv = 2 \int_{0}^{t} \int_{v}^{t} v du dv + \int_{0}^{t} \int_{t}^{s} v du dv = (3s-t)t^2/6$[/math]
C формулами вроде все норм, у меня все отображается.
upd. Твоя формула не отображается :(

soldatiki

Задавали вопрос на собеседовании. Так понимаю, что достаточно было сказать, что среднее ноль. Ну, может быть еще "на 5 с плюсом" сказать, что тоже гауссовский. Кстати, можно тут понять как-то, что гауссовский, не выписывая явно формулы?
А верно ли рассуждение: "так как Wt имеет среднее ноль, то и у интеграла среднее будет ноль"? Вроде, относительно нуля все симметрично.
И еще: правильно я понимаю, что интеграл тут самый обычный потраекторный, так как почти все траектории непрерывны и локально ограничены?

griz_a

Про гауссовость.
Если зафиксировать какие-то моменты времени, то [math]$X_{t_1},...,X_{t_n}$[/math] есть предел в L^2 каких-то там частичных сумм, а частичные суммы имеют гауссовское распределение. Слабый предел гауссовских векторов гауссовский.
Про среднее ноль.
Рассуждение верно, но не столько из-за симметричности, сколько из того, что интеграл с матожиданием переставляется.
Про определение.
Вообще итовские интегралы (а такие интегралы тоже нужны в тех же краях) обычно рассматривают как пределы частичных сумм в L^2. Но п.н. рассматриваемый интеграл тоже сходится (а куда ему деваться, непрерывная же траектория) и, естественно, туда же.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: