[решена] Задача по ЛинАл'у

forester_200

Задача:
даны векторы [math]$\overline{a}_1=\{1;-1;2;5\}$[/math] и [math]$\overline{a}_2=\{0;2;-1;0\}$[/math], подпространство [math]$L=\it{Lin}\{\overline{a}_1, \overline{a}_2\}$[/math].
Найти расстояние от вектора [math]$\overline{b}=\{1;0;0;-4\}$[/math] до подпространства [math]$L$[/math].
Мои впечатления:
Честно говоря, впервые сталкиваюсь с задачей отыскания расстояния от вектора до подпространства :confused:
Предполагаю, что на самом деле речь идёт о следующем.
Необходимо разложить вектор [math]$\overline{b}$[/math] в сумму [math]$\overline{b}=\overline{b}_{\bot}+\overline{b}_{\|}$[/math], где
[math]$\overline{b}_{\bot}\in L^{\bot}$[/math] (ортогональное дополнение к [math]$L$[/math] а [math]$\overline{b}_{\|}\in L$[/math].
Искомое "расстояние" будет равно [math]$|\overline{b}_{\bot}|$[/math]
Вопрос:
Правильна ли моя догадка?
Если нет, то как понимать эту задачу.

seregaohota

правильно
это же 1) очевидно, 2) общеизвестно
PS расстояние от точки до множества inf расстояния до его точек по определению, до подпространства то же самое
в линейных пространствах норма естественно должна быть, в общем случае метрика

forester_200

Как определяется расстояние от точки до произвольного множества, я в курсе
Мне непонятно, как эти рассуждения "естественным образом" переносятся на случай вектора и подпространства :confused:

forester_200

Кажись, понял, что ты имеешь в виду.
Т.е. мы рассматриваем "расстояние" между векторами как модуль их разности.
А расстоянием от вектора до произвольного множества векторов считаем инфимум расстояний от этого вектора до всех вектором множества.
Верно?

seregaohota

конечно там подразумевается естественное точечное аффинное пространство - "концы" векторов объявляем точками
более того оно метрическое/нормированное, иначе какое еще расстояние, которое как раз берем по определению |a-b| как ты написал

forester_200

Жесть. Курс, из которого взята задача, ни сном ни духом не ведает об аффинных пространствах. А задачи на нахождение проекций, "ортогональных составляющих" вектора (то, что мы фактически находим) и т.п. идут вообще отдельным блоком.
Ну, теперь более-менее ясно!
Моя благодарность и Gono!

Vlad128

Жесть. Курс, из которого взята задача, ни сном ни духом не ведает об аффинных пространствах.
об этом же просто умалчивается и рассматривается эта конструкция неявно. А как же тогда «метрическое пространство», «нормированное пространство»? Ведь говорят же, что нормированное будет метрическим с метрикой ||a-b||? В чем смысл этого выражения? Здесь тоже перескакивается от вектора к точкам.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: