Геометрическая задача

evor

Есть город круглой формы и неизвестного диаметра. На расстоянии 3 километров от его северных ворот (строго на север) растёт дерево. Если выйти из южных ворот и пройти 9 километров на запад, то мы увидим это дерево (сие условие глаголит, что касание имеет место). Каков же диаметр города?
кому не сложно, порешайте, пожалуйста, пишите сюда конечное уравнение,
 как решали в приват (ну или прозрачным шрифтом тут, чтобы другие могли подумать)
как ни странно, мне это надо для философии)
для особливо нервных: меня интересует как её решают другие люди, сам я её решил и друзья уже порешали, хочется расширить выборку

antcatt77

На расстоянии 3 километров от его северных ворот растёт дерево.
здесь, по видимому, надо добавить для однозначности - что 3км на север
уравнение: (2k + 1) / 3 = sqrt(2k+1) / k
решение:

рисуем,
используем что радиус он же перпендикуляр к касательной,
видим два подобных прямоугольных треугольника,
радиус берем как 3k, чтобы избавиться от больших чисел,
расписываем формулу подобия + расчет стороны прямоугольного треугольника,
методом подгонки находим, что k = 1.5, или диаметр = 9

antcatt77

как ни странно, мне это надо для философии)
что именно интересует?

evor

в статье приводится эта задача и говорится, что она решается на протяжении веков разными способами, хочется посмотреть насколько современные умы уйдут глубоко в прошлое

Logon

Решил через подобие треугольников, если все сделал правильно то ответ:
  радиус равен 9*(корень из 3)
До этого попробовал решить через площади, пришел к уравнению третьего порядка
ЗЫ. Прочитал первое решение, проверил по нему - вроде там правильно решили, тогда выходит я ошибся, пичалька....
Хотя решение через "подгонку" мне видится несколько странным

yulia84

Две теоремы Пифагора, получаем уравнение четвёртого порядка. Методом тыка в MS Excel диаметр выходит чуть более девяти километров.

fabio

диаметр города 10.209 км

karddi

А если учесть, что два отрезка касательных, соединяющих точку, откуда проведены касательные, с точками касания, равны, то из того же подобия прямоугольных треугольников получаем кубическое уравнение. Диаметр города тоже 9

Sergey79

кому не сложно, порешайте, пожалуйста, пишите сюда конечное уравнение,
тригонометрия->кубическое уравнение->Мэпл.
Ответ

antcatt77

Хотя решение через "подгонку" мне видится несколько странным
если расписывать мое уравнение дальше (возводя в квадрат то получается уравнение 4 степени, которое мне не охота было решать честно, поэтому я подобрал корень руками, зная что в таких задачках корни обычно простые.

Maria-mirabella

antcatt77

то из того же подобия прямоугольных треугольников получаем кубическое уравнение
как там получается кубическое уравнение? не догоняю...

evor

если использовать свойство квадрата касательной 2 раза
+ пифагора - получится третья степень
если только пифагоров - четвёртая
понравилось ещё решение через симметричное отражение треугольника, чтобы получился большой треугольник с вписанной окружностью (но по сути, это те же секущие)
в оригинале (это китайская задача, ход решения утерян) получалось уравнение пятой степени, но пока никто не придумал (не синтетическими способами) как этого добиться

Sergey79

Там при выводе уравнения сокращается степень до кубического. Из пропорций один множитель оказывается одинаковым слева и справа.

sergius_inc2

Хм, а у меня все уравнение 3-его порядка получается 2*R^3+3*R^2=243, решая его "методом подгонки", находим, что R=4.5, соответственно диаметр города d=2R=9. Наверное, решение без этого уравнения было бы прикольнее, ну, не очевидно же, как его решать, или очевидно?

evor

нет, там в любом случае получается неказистое уравнение, хз как китаец решал своё уравнение пятой степени (учитывая, что там свободный член over9000)

Sergey79

в оригинале (это китайская задача, ход решения утерян) получалось уравнение пятой степени, но пока никто не придумал (не синтетическими способами) как этого добиться
подозреваю, что симметриями и поворотами.

sergius_inc2

"Если ты думаешь, что делаешь что-то лучше всех, то это не так, обязательно найдется какой-нибудь китаец, который делает это лучше тебя", ну или как-то так.

antcatt77

Там при выводе уравнения сокращается степень до кубического. Из пропорций один множитель оказывается одинаковым слева и справа.
всё въехал - сначала я думал что надо брать подобие каких-то других треугольников, чтобы получить куб, и пытался их найти...
моё уравнение можно разделить сначала на sqrt(2k + 1 а потом возвести обе стороны в квадрат и это даст кубическое уравнение.
при других обозначениях, чем у меня - скорее всего видно лучше, что уравнение можно сократить.

denis24

Если расстояние от города до дерева - а, а расстояние от южных ворот до точки, из которой видной дерево - b, то мы имеем уравнение:
2r^3 + ar^2 - ab^2 = 0
Для положительных a, b и r мы очевидно имеем только одно решение, которое, при удачном стечении обстоятельств будет "красивым". В нашем случае тройкой (a;b;r) является (3;9;4,5).
Но это получается чисто алгебраическая фишка. Вопрос в том, можно ли решать исходную задачу геометрически путём каких-либо дополнительных построений. Это было бы интересно.

maxbut

достроил касательными до треугольника, чтобы город был вписанной окружностью.
Далее, площадь треугольника p*r = 1/2 *a*h или r(18 + sqrt(6r + 9 = 9*(2*r + 3)
или 6r^3 + 9r^2 - 27^2 = 0
или после замены r = 3k : 2k^3 + k^2 - 9 = 0
     k = 1,5 или r = 4,5
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: