Задача про кубик с 6 гранями и 5 красок

Irbis-S

Подскажите плз общую идею решения.
Никак не могу догадаться, как сделать.
Есть кубик с 6ю гранями и 5 красок. Каждая грань окрашивается в один цвет.
Все краски должны быть задействованы.
Сколько существует различных таких кубиков ?

griz_a

Блин, я тут усчитался, а оказывается "все краски должны быть задействованы".
75 способов тогда.
5*6!/2/24
5 - число цветов для повторяющейся грани, 6!/2 - число раскрасок при фиксированном повторяющемся цвете и фиксированных остальных, 24 - число поворотов куба, почему повороты куб с двумя одного цвета и остальными других различных не переводят в себя - задачка на засыпку.

Vlad128

Блин, я тут усчитался, а оказывается "все краски должны быть задействованы".
:ooo: а я думал задача для зубров. И как у тебя, с тремя цветами, далеко зайти удалось?

Vlad128

как считать?

mtk79

Как сказал бы О.Бендер, "не меньше!"

griz_a

ну я раскидал раскраски на сохраняющиеся при 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 вращениях, а дальше не успел посчитать. Но что-то геморно показалось

Irbis-S

Поясните плз, не совсем понял.
Задача школьная, нужны элементарные соображения

griz_a

а просил-то вроде общую идею.
стандартная общая идея - посчитать сколько способов раскрасить куб с фиксированным расположением в пространстве, а потом посчитать сколько раз при этом считается куб с не фиксированным.

Irbis-S

Я понял как посчитать с фиксированным положением.
Непонятно как вычесть все повороты

griz_a

Я понял как посчитать с фиксированным положением.
Непонятно как вычесть все повороты
причем тут вычесть? :) поделить, потому что каждый куб переходит в новый при каждом повороте. Это-то уж совсем легко доказывается

Irbis-S

вычесть в смысле учесть, т.е. в данном случае поделить будет

Irbis-S

Ок, спасибо.
Сейчас подумаю тогда, все равно не до конца понял.
Если у кого есть минута свободная, разжуйте плз решение для бестолковых

griz_a

Назовем кубы жесткими, если у них фиксированы номера граней. То есть у куба подписаны на каждой грани цвет и цифра. И два куба равны, если цифры и цвета равны.
Поворотом жесткого куба назовем перестановку цветов, соответствующую повороту куба при том, что цифры остаются на местах.
Соответственно, вообще говоря, поворот жестокого куба может перевести его в равные.
Например, все повороты жесткого одноцветного куба переводят его в равные.
Однако, для жесткого куба с 5 цветами таких поворотов нет.
Всего поворотов куба 24.
Если мы посчитаем все жесткие кубы, то обычных кубов будет в 24 раза меньше, потому что каждый обычный куб дает 24 разных жестких куба поворотами.

Irbis-S

У меня почему-то другим образом получается 90 вариантов.
Мое решение (может неправильное)
Возьмем грань совпадающего цвета (всего 5 вариантов цвета).
Поставим ее условно вниз.
Далее есть 2 варианта :
1) вторая такая же грань смежная с этой.
Поставим ее условно влево. Остаются 4 грани и 4 краски, т.е. 4! вариантов, но есть возможность 1го поворота относительно наших смежных граней (они меняются местами что приведет к одинаковым кубам
Т.е. число вариантов 4!/2
2) вторая грань того же цвета параллельна нашей.
Тогда также есть 4 оставшиеся грани и 4 цвета, т.е. 4! комбинаций, но есть 3 типа поворота вокруг вертикальной оси (на 90,180 и 270 градусов) + есть возможность смены мест наших граней, что опять приведет к одинаковым кубам
Т.е. число уникальных вариантов 4!/4.
Таким образом получается 5*(4!/2+4!/4)=5*(12+6)=90 вариантов.
Может я ошибся где-то, подскажите плз

griz_a

 
2) вторая грань того же цвета параллельна нашей.
Тогда также есть 4 оставшиеся грани и 4 цвета, т.е. 4! комбинаций, но есть 3 типа поворота вокруг вертикальной оси (на 90,180 и 270 градусов) + есть возможность смены мест наших граней, что опять приведет к одинаковым кубам.
Т.е. число уникальных вариантов 4!/4.
  

4!\8
4 поворота + переворот

Irbis-S

Все понял.
Спасибо
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: