Гармонический анализ: комплексные частоты

vizier

Дано:
при решении задачи нахождения частот нормальных колебаний
[math]$|M^{-1} H - \omega^2 1 | = 0 $[/math],
[math]M[/math] - диагональная матрица с массами
[math]H[/math] - матрица Гесса
в наборе собственных значений [math]$\omega^2$[/math] помимо действительных величин присутствуют комплексные величины (попарно комплексносопряженные которым соответствуют комплексные же собственные вектора.
Вопросы:
Дают ли они вклад в спектр нормальных колебаний?
... например путем их линейного комбинирования.
Если да, то как быть с затухающей/возрастающей экспонентой вылезающей после подстановки комплексной величины в [math]$e^{i \omega t}$[/math]?
Если эти решения нефизичны, то о чем говорит их наличие в спектре?
Какие такие особенности поверхности потенциальной энергии приводят к таким эффектам?

demiurg

Не должно быть их имхо.

Lene81

Вообще-то решаемая задача не совсем "традиционная".
Для нахождения частот нормальных колебаний нужно диагонализовать матрицу
[math]$M^{-\frac{1}{2}} H M^{-\frac{1}{2}}$ [/math]

demiurg

у него M диагональная, так что его уравнение ты и получишь при диагонализации твоей матрицы

vizier

вот видел я такую штуку и подозреваю что это произведение есть симметричная матрица в которой собственные значения действительные, но из каких соображений она так записывается?

demiurg

Какая разница из каких?

Lene81

Какая разница из каких?
Матрица H и M^{-1/2} не коммутрируют в общем случае, потэтому результат диагонализации несомненно другой

vizier

Не должно быть их имхо.
хотел было выложить матрицу, но обнаружил некий косяк. ща пофиксю и отпишусь.

demiurg

А ты уверен, что у тебя более общий случай? Я, например, понимаю, как его запись получается из Лагранжиана, а как твоя — не знаю.

Lene81

вот видел я такую штуку и подозреваю что это произведение есть симметричная матрица в которой собственные значения действительные, но из каких соображений она так записывается?
А вот из каких: введем масс-взвешенные координаты r'_i = sqrt(m_i) x_i, тогда кинетическая энергия станет единичной матрицей, а элементы матрицы вторых производных станут
1/sqrt(m_i) H_ij 1/sqrt(m_j что в матричной форме будет точно то, что я написал

demiurg

Ну то есть это для диагонального случая.

Lene81

А ты уверен, что у тебя более общий случай?
Да. См. объяснение выше. Более того, эта формула справедлива даже в случае криволинейных координат с положительно-определенной метрической матрицей.
А вообще, в линейной алгебре есть теорема об одновременной диагонализации двух квадратичных форм, одна из которых положительно-определенная.

demiurg

В твоём объяснении матрица кинетической энергии диагональна. В этом случае формулы одинаковы.

Lene81

В твоём объяснении матрица кинетической энергии диагональна. В этом случае формулы одинаковы.
Собственные числа, да, согласен, одинаковы, но собственные вектора нет.

vizier

gimli, noord
простите меня, я идиот
я очепятался когда записывал матрицу обратных масс и случайно влепил единицу вне диагонали, что привело к отрицательному элементу на диагонали [math]$M^{-1}H$[/math]
огромное вам спасибо, что помогли заметить ошибку : D

demiurg

Потому что у векторов разный физический смысл: в твоём случае они на массы поделены. Поэтому чтобы сравнивать надо домножить обратно. И должно быть одинаково.

Lene81

Да, согласен. "Моя" задача переходит в задачу топикстартера преобразованием подобия U{-1} <...> U, где U = M^{1/2}
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: