Вопрос о сходимости мартингала

trof-filipp

Рассмотрим процесс [math]$X_t=e^{B_t-t/2}$[/math] , где [math]$B_t$[/math] - броуновское движение. Хорошо известно, что [math]$X_t$[/math] - мартингал (относительно естественной фильтрации [math]$B_t$[/math]). Вопрос: чему равно [math]$X_\infty$[/math]?

griz_a

[math]$B_t-t/2$[/math] сходится к [math]$-\infty$[/math] :)

sverum

Вопрос: чему равно [math]$X_\infty$[/math] ?
Ответ: ничему, поскольку мартингал не является равномерно интегрируемым и, следовательно, не является замкнутым.

griz_a

А с чего это равномерная интегрируемость требуется? Это для сходимости в L^1 требуют равномерную интегрируемость, обычная теорема Дуба верна при равномерной ограниченности супремума модуля матожидания. У положительного мартингала это автоматически так.

sverum

А с чего это равномерная интегрируемость требуется?
Ботай что такое [math]$X_\infty$[/math].

griz_a

Смотря у кого.
У Дуба это просто предел предел почти наверное [math]$X_n$[/math].
Вот фрагмент Ширяева

Никаких равномерных интегрируемостей.
Я понимаю, что ты, наверное, имеешь ввиду величину, относительно которой этот мартингал будет мартингалом Леви. Да, этот мартингал не мартингал Леви, но это ему не мешает сходиться почти наверное к 0.
Так что у меня впечатление, что ты превратно истолковываешь как вопрос топикстартера, так и обозначение [math]$X_{\infty}$[/math].

sverum

Так что у меня впечатление, что ты превратно истолковываешь как вопрос топикстартера, так и обозначение
Извини, видимо я ошибся с обозначениями. Конечно ты прав.

trof-filipp

Спасибо, [math]$X_\infty$ [/math] понимался в классическом смысле сходимости п.н., а вопрос действительно оказался простым, просто, видимо, произошел какой-то временный затык :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: