Задача на меру множества

Filimonova

назовем число нормальным, если для любого e>0 существует N, что среди цифр (в десятичной записи после запятой) с номерами с N по N(1+e) есть две разных цифры.
доказать, что множество нормальных чисел на отрезке [0,1] имеет меру 1 по Лебегу.

svetik5623190

Докажи, что его дополнение имеет меру нуль.

griz_a

Странное определение. Получается, если число ненормальное, то оно рациональное?
Ведь для любого e найдется N: Ne>1, тогда найдем n>N такую, что n и n+1 цифры отличаются (иначе рациональное получим, что число нормальное

svetik5623190

назовем число нормальным, если для любого e>0 существует N, что среди цифр (в десятичной записи после запятой) с номерами с N по N(1+e) есть две разных цифры.
Следовательно, число ненормальное, если найдётся e>0 такое, что для любого N цифры (в десятичной записи после запятой) с номерами с N по N(1+e) одинаковые.
Я так понимаю, что под N(1+e) понимается целая часть этого действительного числа.
Докажем, что ненеормальное число рационально. В самом деле, по существующему ввиду ненормальности е найдём такое N, что (N(1+e) - N )= Ne >1. Тогда одинаковыми окажутся цифры c номерами N и (N +1). Но так как (N+k1+e) - (N+k) = (N+k)e = Ne +ke >1, то одинаковыми будут и цифры с номерами (N+1) и (N+2 (N+2) и (N+3) и т.д., иными словами - последовательность цифр стабилизируется, т.е. десятичная дробь становится периодической, т.е. рациональным числом.
Множество всех рациональных чисел счётно, и потому имеет меру нуль. В самом деле, докажем, что мера Q меньше e для любого е>0. Занумеруем Q = {q_1, q_2, ...} и покроем Q системой отрезков так, что длина отрезка, покрывающего число q_k меньше e /2^k. Суммарна длина интервалов (мера системы интервалов) меньше е, а значит меньше е и мера Q.

tatra

Странное определение
не будет же препод формулировать задачку в виде: "докажите, что подмножество рациональных чисел имеет меру ноль" :)

svetik5623190

не будет же препод формулировать задачку в виде: "докажите, что подмножество рациональных чисел имеет меру ноль"
Это 1 или 2 курс, задача на понимание эпсилон-дельта языка и умение доказывать, например моё решение может и не прокатило бы, т.к. я не указал явно, где я использовал сигма-аддитивность меры Лебега и т.п.

tatra

Я это и имел в виду, что определение не странное, а чуть чуть запутанное - в нем надо выяснить структуру подразумеваемого множества, а не называть вещи естественным языком.

svetik5623190

Придумалась вариация на эту же тему, может и глупая (но я не знаю, как решать):
назовем число р-нормальным, если для любого e>0 существуетN_0 такое, что при N>N_0 вероятность того, что среди цифр (в десятичной записи после запятой) с номерами с N по N(1+e) есть две разных цифры, равна р.
Найти меру Лебега множества р-нормальных чисел на отрезке [0,1].

tatra

кстати, сигма-аддитивность меры Лебега ты не использовал нигде, даже неявно

svetik5623190

Я оцениваю меру объединения через ряд из мер объединяемых множеств, в одном из способов выведения законности этого используется сигма-аддитивность.
А тем, что измеримые по Лебегу множества образуют сигма-алгебру, я и вовсе пользуюсь явно.
Впрочем, мне-то что, я отвечу на любые докапывания препода по этой задаче, главное - чтоб и топикстартер смог! :D

tatra

некорректное условие. Приведи пример любого p-нормального числа
upd: sorry, все корректно
upd2: не, все-таки некорректно :)

tatra

Я оцениваю меру объединения через ряд из мер объединяемых множеств
ты покрыл множество интервалами сумма длин которых меньше заданного eps. Это определение мн-ва меры ноль на прямой, которое дают на 1-2 курсе. На 2-3 же курсе вводят абстрактное определение меры на абстрактных множествах. И потом можно доказать эквивалентность этих двух определений меры ноль на прямой.

svetik5623190

некорректное условие. Приведи пример любого p-нормального числа
0-нормальные и 1-нормальные числа уже рассмотрены
Для 0<p<1 доказательство некорректности условия будет считаться решением задачи.
Кто может решить?

tatra

это были не 0-номальные числа.
Доказательство некорректности: у тебя там есть слово вероятность. Предъяви вероятностное пространство.

В предположении, что вероятностное пространство есть сам отрезок [0,1], твое условие звучит как то так:
Число А назовем p-простым если мера множества чисел, включающих число A, равна p. Определение А зависит от А

Filimonova

определение я дал как раз правильное.
и из него действительно следует, что рациональные числа ненормальные.
но есть ненормальные, но иррациональные числа:
0,1001000100001...
число иррационально, но ненормально.
так что вопрос остается открытым.

Filimonova

а, нет, действительно неправильно написал:
надо вот так:
число нормально, если для любого е существует N_0, что для любого N>N_0 среди цифр от N до N(1+e) есть две разных.

tatra

пункты 15 и 20

tomxays

ап!

svetik5623190

число нормально, если для любого е существует N_0, что для любого N>N_0 среди цифр от N до N(1+e) есть две разных.
Cледовательно, число не-нормально, если существует е такое, что для всех N среди цифр от N до N(1+e) нет разных и т.п... Я же писал уже об этом выше!

kirillba

(в первом посте я неправильно написал определение)
правильное определение:
число нормально, если для любого е существует N_0, что для любого N>N_0 среди цифр от N до N(1+e) есть две разных.
отрицание - меняем все кванторы и последнее высказывание:
число не-нормально, если существует е, что для любого N_0 существует N>N_0, что среди цифр от N до N(1+e) все одинаковые.
т.е. не с некоторого N все цифры одинаковы, а существует подпоследовательность N, для которых цифры от N до N(1+e) одинаковые.
более строго пример не-нормального и иррационального числа:
0,10100010000001..
кол-во нулей после единицы равно кол-ву предыдущих цифр. е=1.

svetik5623190

Есть маза начать новый тред, ибо в этом уже всё довольно запутанно получается
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: