Задачка по теории чисел!

ssz1977

[a]+[a+1/n]+...+[a+(n-1)/n]=[na]
Видимо как-то надо оценить сверху и снизу.
Что-то не получается

greekdom

[] это что такое?

ssz1977

целая часть

greekdom

а это типа любое число?

ssz1977

да
n-целое положительное число.

NHGKU2

Имеем:
[a] <= a < [a] + 1.
Фиксируем n. Тогда существует такое k (0<=k<=n-1 что [a] + k/n <= a < [a] + (k+1)/n.
Рассмотрим [a + m/n], m = 0, 1, ..., n-1.
Из предыдущего неравенства получаем: [a] + (k+m)/n <= a + m/n < [a] + (k+m+1)/n, значит
[a + m/n] = [a] при k+m+1 <= n, и [a + m/n] = [a] + 1 при k+m+1>n.
Но чисел m таких, что k+m+1>n, т.е. m>n-k-1, всего k штук, а именно n-1, n-2, ..., n-k.
Поэтому искомая сумма равна:
[a] + [a+1/n] + ... + [a + (n-1)/n] = n[a] + k.
С другой стороны, поскольку [a] + k/n <= a < [a] + (k+1)/n, то
n[a] + k <= na < n[a] + (k+1 следовательно
[na] = n[a] + k.
Таким образом,
[a] + [a+1/n] + ... + [a + (n-1)/n] = n[a] + k = [na],
что и требовалось.

ssz1977

спасибки
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: