Спектр и резольвента оператора

kora_duba

Кто-нибудь знает, как найти спектр и резольвенту оператора A, действующего из L2[0,1] в себя?
-------- x
(Afx) = S(x-t)f(t)dt
-------- 0
(S - это интеграл от 0 до x)

Julia080682

Спектр - по определению, резольвенту - точное определение не помню.

vovatroff

Резольветное множество оператора A - мн-во тех комплексных \lambda, для которых
резольвента R(\lambda)=(A - \lambda E)^-1 определена как ограниченный оператор из
L2 в L2.
Т.е. все \lambda, при которых уравнение (A - \lambda 1)f = g имеет единственное решение
f из L2 при всех g из L2.
Для того, чтобы установить резольвентное множество, надо попытаться решить
это интегральное уравнение (в вашем случае) с параметром \lambda. Советую
продифференцировать его по x и попытаться свестись к дифуру.
Спектр - дополнение резольветного множества (вся компл. плоскость минус резольвентное множество).

FLIBER

Советую продифференцировать его по x и попытаться свестись к дифуру.

Но ведь функции из L2 могут нигде не иметь производную, что делать?
То есть сам интеграл продифференцировать можно, а что с -\lambda * f ?

z731a

сделать замену f=u''
полученное уравнение, кстати, будет иметь решение при всех \lambda не равных 0

soldatiki

Но ведь функции из L2 могут нигде не иметь производную, что делать?
если функция собственная, то она равна интегралу от нее самой, то есть непрерывна. Но если под интегралом непрерывная функция, то интеграл дифференцируем. Для производной — то же самое. Плюс 2 начальных условия при x = 0. Далее отдельно проверяем лямда = 0. Дале говорим, что оператор компактен и непрерывный спектр у него может состоять лишь из нуля, вопрос с которым решен отдельно. Оператор, на сколько я понимаю, самосопряженный, поэтому остаточного спектра нет.

vovatroff

Это все так, оператор у человека - вольтеррова типа, и резольвентное множество у него действительно C\{0}.
Проблема в том, что человеку нужно было найти резольвенту.
В принципе, резольвенты обычно записывают в виде рядов по \lambda
( (A - \lambda E)^-1 - геометрическая прогрессия но тут,
видимо, нужен ответ в замкнутом виде. Хотя и ряд можно попытаться
свернуть потом во что-то узнаваемое.
Я же посоветовал свести к дифуру, чтобы как-то выразить резольвенту,
например, через фундаментальную систему решений однородного дифура
при \lambda .NE. 0
Проблема может быть еще и та, что дифур, получающийся почленным
дифференцированием интегрального уравнения по верхнему пределу, может
иметь решения, посторонние для исходного уравнения. Надо проверять, но
своих дел хватает.

soldatiki

но тут,
видимо, нужен ответ в замкнутом виде
степени интегрального оператора как-то выражаются в виде также интегрального оператора с каким-то ядром типа сверточного квадрата исходного ядра (это можно посмотреть в Люстернике и Соболеве "Элементы ФА" получится ряд из интегральных оператров, там можно пытаться поменять местами интегралы с суммой... такой вот сабж (я, правда, не проверял это точно).
[offtop] Если бы дело происходило в L_2(R то можно было бы представить этот оператор как свертку и пользоваться преобразованием Фурье. [/offtop]
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: