Где искать доказательство (задача)

stat6569931

Есть простенькое соотношение [OaxOb]=det(O)xO[axb], где O - оператор(вроде, ортогональный, но не уверен a, b - векторы. Встала задача доказать :) Все что связано с теорией по математике было давно. Уважаемые математики/физики/программисты, если кто сходу вспомнит откуда оно берется, буду очень благодарен!

seregaohota

[math]$\mathcal O a \times \mathcal O b  = \det \mathcal O \cdot \mathcal O \left[ a \times   b \right]$[/math]
Так? Верно для любых a и b? Там умножение - это у тебя векторное произведение в трёхмерном пространстве векторов?

seregaohota

Если это так, и оператор можно в некотором ортогональном базисе представить матрицей 3х3 то берёшь в качестве a и b вектора единичного базиса во всех комбинациях, получаешь условия на столбцы матрицы Oe_i - вроде будет что-то типа 3 векторов нового базиса повёрнутого из исходного базиса с помощью оператора O. Что-то типа того. det нужен чтобы кроме вращения учесть отражение, если определитель меньше 0.

goga7152


[math]${\mathcal O} a \times {\mathcal O} b = det {\mathcal O} \cdot {\mathcal O} \left[ a \times b \right]$[/math]
Так? Верно для любых a и b? Там умножение - это у тебя векторное произведение в трёхмерном пространстве векторов?
Если [math]$a$[/math] и [math]$b$[/math] неколлинеарны (в противном случае их векторное произведение равно 0 то [math]$\left[ a \times b \right]$[/math] --- вектор, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах [math]$a,\, b$[/math], который перпендикулярен [math]$a$[/math] и [math]$b$[/math] и такой что тройка [math]$a,\, b,\, \left[ a \times b \right]$[/math] правая. Ортогональный оператор сохраняет длины векторов и углы между векторами, но, возможно, меняет ориентацию (когда его определитель -1 ). Отсюда все легко следует.

stat6569931

Спасибо! Может, кто-то помнит доказательство с использованием свойств тензоров?

mtk79

можете поиспользовать запись векторного пр-я через Леви-Чивиту [math]$\varepsilon_{ijk}$[/math] — но здесь в явном виде используется трехмерность пр-ва (направление вектора, ортогонального двум другим, единственно а не тензорность
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: