Задача по матанализу

eMoE

$x^2/(y-z)^2+y^2/(z-x)^2+z^2/(x-y)^2 \to extr$. Там, где оно определено, естественно.
Самому решать некогда, а в форум спросивших ткнуть могу.

svetik5623190

"Самому решать некогда", ага. Ты просто не в теме, но не хочешь в этом признаваться ;) Потому что если бы был в теме, то объяснил бы спрашивавшему тебя за полминуты. Тут и решать-то нечего, 1 курс, матан.
Задача на безусловный экстремум.
Находите частные производные по всем переменным, приравниваете их к нулю, получится система уравнений. Её решения --- точки, подозрительные на экстремум. Их исследуете, и задача решена.

griz_a

Ты еще реши систему на экстремумы. Там три уравнения 7ой степени.
То, что алгоритм известен не означает, что задача тривиальная.

lenmas

А может там все циклично симметрично? Тогда у экстремума какие-то координаты равны.

sverum

А может там все циклично симметрично? Тогда у экстремума какие-то координаты равны.
f(x,y) = (x + y - 1)^2 + (x*(x - 1^2 + (y*(y - 1^2

griz_a

Во мне сильно впечатление, что экстремум 2 и достигается он на 1, -1, 0

lenmas

f(x,y) = (x + y - 1)^2 + (x*(x - 1^2 + (y*(y - 1^2
К чему эта функция?
Все понял! Ты к тому, что симметричная функция может иметь экстремумы не на прямой симметрии :D

lenmas

Во мне сильно впечатление, что экстремум 2 и достигается он на 1, -1, 0
Кстати, да, не могут быть какие-то координаты равны, так как не входит в область определения. Скорее всего, ты прав.

lenmas

Че-то я совсем отупел. Функция-то однородная. Если пытаться избавиться от однородности (например, y=xy', z=xz' то получится что-то типа
[math]  $$  f(1,y',z')=\frac1{(y'-z')^2}+\frac{y'^2}{(z'-1)^2}+\frac{z'^2}{(y'-1)^2}.  $$  [/math]
Что-то я попробовал тут частные производные повычислять, пока тухло :grin:
Это я все выше к тому, что одна из координат должна быть нулевая, то-есть показать, что в этом случае экстремума быть не может.

griz_a

Я уже сводил к такому виду, но не преуспел :(

lenmas

Есть еще такая мысль, привести к общему знаменателю, и выразить числитель и знаменатель через базисные симметрические формы. Это как-то позволит избавиться от симметричности задачи. Хотя проще, скорее всего, не получится.

DarkDimazzz

Обозначим:
[math] $$u=\frac{x}{y-z}; v=\frac{y}{z-x}; w=\frac{z}{x-y}.$$ [/math]
Поскольку рассматривается область определения функции
[math] $$f(x,y,z)=\frac{x^2}{(y-z)^2} + \frac{y^2}{(z-x)^2} + \frac{z^2}{(x-y)^2},$$ [/math]
то переменные u, v и w могут принимать только значения, при которых система
[math] $$\left\{  \begin{array}{rcl}  x - uy + uz &=& 0 \\  vx + y - vz &=& 0 \\  -wx + wy + z &=& 0  \end{array}  \right.  $$ [/math]
будет иметь нетривиальные решения, то есть тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:
[math] $$\Delta=1+uv+uw+vw=0.$$ [/math]
Выражая функцию f через u, v и w и принимая во внимание последнее равенство, получаем:
[math] $$ f = u^2+v^2+w^2 = (u+v+w)^2 - 2(uv+uw+vw) = (u+v+w)^2 + 2 \ge 2. $$ [/math]
Равенство достигается тогда и только тогда, когда [math] $u+v+w=0$ [/math], то есть когда
[math] $$ x^3 + y^3 + z^3 - x^2 y - x y^2 - x^2 z - x z^2 - y^2 z - y z^2 + 3 x y z = 0 $$ [/math]
(интересно, у этого уравнения есть ли красивое решение?)

urka3000

(интересно, у этого уравнения есть ли красивое решение?)
{1, -1, 0} вроде подходит.

DarkDimazzz

Дык, там не только {1, -1, 0}, там есть, например, еще [math] $\{1,-1,\pm\sqrt{5}\}$ [/math]. И много чего другого. Я имел в виду красивое общее решение.

griz_a

Да, есть.
Рассмотрим z=0 отдельно, тогда сразу x=y или x=-y. Первое не подходит из-за области определения, т.ч. второе.
Итак, z=0, x=-y
Если же z не 0, то поделим уравнение на [math]$z^3$[/math], обозначим [math]$u=x/z, v=y/z$[/math]
Получим [math]$u^3+v^3-u^2 v - v^2 u - u - v - u^2 - v^2 + 3 uv+1=0$[/math]
Делаем замену [math]$\sigma_1=u+v, \sigma_2=uv$[/math]
[math]$1+\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 - \sigma_2\sigma_1 - \sigma_1^2-2\sigma_2-\sigma_1-3\sigma_2$[/math]
Отсюда [math]$\sigma_2(4\sigma_1-5)=\sigma_1^3-\sigma_1^2-\sigma_1+1$[/math]
Пусть [math]$\sigma_1=2c, z=d$[/math]
Тогда
[math]$x=d(c-\sqrt{c^2-(c-1)^2(c+1)/(4c-5)}\\ y=d(c+\sqrt{c^2-(c-1)^2(c+1)/(4c-5)}\\ z=d$[/math]
c - такое что корень берется из положительного числа (можно явно выписать, но там противно) и такое, что [math]$c-\sqrt{c^2-(c-1)^2(c+1)/(4c-5}$[/math] не 1.
d не 0 любое
Ну и надо еще x и y поменяв местами получить еще набор решений

lenmas

Откуда такое красивое решение? :ooo:

griz_a

На самом деле, без красоты можно было посчитать uv+vw+uw и увидеть, что это -1. %)

svetik5623190

Ты еще реши систему на экстремумы. Там три уравнения 7ой степени.
А, ну извините тогда. Я просто посмотрел, что там рациональная функция, да и всё.
Можно попробовать мэплом крякнуть, а потом "угадать" несколько корней :) впрочем, поугадывать корни можно и по делителям свободного члена.
Апд: прочитал тред, Ксандерус и ФрауСоболева молодцы :)

griz_a

Как видишь, там двумерный кусок плоскости корней. Угадывать их - хлопот не оберешься :)
Просто будь внимательней в следующий раз, прежде чем кричать очевидно.
Я как-то видел человека, который так с ходу крикнул про задачу "Есть натуральное число. Мы можем проделывать с ним 2 операции - n -> 3n+1 или n->n/2, если оно четное. всегда ли мы придем к 1?"

DarkDimazzz

На самом деле, без красоты можно было посчитать uv+vw+uw и увидеть, что это -1. %)

Согласен. Но довольно нетривиально догадаться, что если в указанной функции выделить полный квадрат, то остаток получится красивым (хотя, по сути, будут проделаны те же самые операции). Собственно, комбинацию uv+vw+uw я заметил только тогда, когда записал определитель.

griz_a

Не, безусловно твое решение выглядит и логичным, и красивым :)
Здорово :)

DarkDimazzz

:o

kroton45

Открываюсь
Нифига это не ОПУ, а решил на форумчанах протестить задачку, которую дал школьникам.
Сам я имел в виду вот что:
Рассмотрим $f(x+t, y+t, z+t)$ --- это квадратный трехчлен, минимум у него бывает только в одном месте, которое выражается через $x,y,z$. Считаем минимум, получаем 2 --- все!

griz_a

задачи надо формулировать учиться.
То что минимум 2 и исследовать на экстремум - немножко разные задачи.
Во второй нужно еще найти где достигается
Задача для школьников, кстати, на мой взгляд, очень плохая.
Примерно как написать многочлен 100 степени, а потом сказать, что легко заметить, что у него корни корень из 50+3, минус корень из пятидесяти+3

griz_a

А как должно пониматься, что минимум
[math]$-\frac{(\frac{x}{(z-y)^2}+\frac{y}{(z-x)^2}+\frac{z}{(x-y)^2})^2}{\frac{1}{(z-y)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}+\frac{1}{(x-y)^2}}+\frac{x^2}{(z-y)^2}+\frac{y^2}{(z-x)^2}+\frac{z^2}{(x-y)^2}$[/math] это 2?

DarkDimazzz

Ну, я бы не сказал, что очень плохая. Имхо, нормальная задачка уровня городской или зональной олимпиады. Как тут уже было сказано, найти минимальное значение здесь можно вполне в рамках школьного курса - по сути достаточно выделить полный квадрат. Хотя нельзя сказать, что это очевидно, но, думаю, догадаться до этого вполне реально, особенно если еще заранее известно, что она решается в рамках школьного курса.
Интересно все-таки посмотреть "авторское" решение (не схему решения, а именно само решение).

kroton45

На самом деле, по-моему, формулировка с экстремумом много легче, нежели с неравенством, ибо предотвращает желание заряжать всевозможными Коши-Буняковскими. С другой стороны, разумный школьник должен попытаться и экстремум поискать.
Как допереть до тождественного преобразования - не знаю. У меня получилось методом счастливого глюка. А вообще у этой задачи одно из наименее ядреных тождественных преобразований в книжке (автор - Vasile Cirtoaje). Но ведь допирают же!

griz_a

На самом деле, по-моему, формулировка с экстремумом много легче, нежели с неравенством, ибо предотвращает желание заряжать всевозможными Коши-Буняковскими

Где логика? :confused:
Как допереть до тождественного преобразования - не знаю

решение-то будет приведено или нет?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: