Сжимающие отображения и полнота

soldatiki

Как известно, в полном метрическом пространстве любое сжимающее отображение имеет единственную неподвижную точку.
Верно ли обратное: если в метрическом пространстве любое сжимающее отображение имеет и притом единственную неподвижную точку, то пространство полное?
И ещё вопрос.
Верна ли теорема о сжимающем отображении в произвольном хаусдорфовом топологическом пространстве с равномерной структурой? Например, в линейном топологическом пространстве.

Irina_Afanaseva

> Верна ли теорема о сжимающем отображении в произвольном хаусдорфовом топологическом
> пространстве с равномерной структурой? Например, в линейном топологическом пространстве.
для понятия "сжимающее" нужна метрика

alfa114

Возможно, пространство, равное топологической сумме n-мерного шара и n-мерного шара с выколотой точкой будет контрпримером (извини, нет времени долго проверять гипотезу
2. Стоит посмотреть теоремы метризуемости, возможно, ты крутишься вокруг классической теоремы о неподвижной точке в метрическом пространстве.

Pavka1

В принципе, для топологического векторного пространства можно попытаться сформулировать сжатие так:
образ окрестности нуля должен быть множеством, которое целиком накрывается этой же окрестностью нуля, умноженной на число t <= q < 1 и (быть может) сдвинутой на некоторый вектор h.
f сжимает \Leftrightarrow f(U) \subset t*U + h для t <= q < 1 и любой окрестности нуля U

Irina_Afanaseva

> Верно ли обратное: если в метрическом пространстве любое сжимающее отображение имеет и
> притом единственную неподвижную точку, то пространство полное?
нет.
в плоскости надо взять кусок графика функции (1-x)sin(1/x) при x из полуинтервала (0;1]
Образ при любом сжатии обязан быть отделенным от оси ординат
(так как диаметр образа при сжатии уже будет < 1,
а это в силу связности запрещает приближаться неограниченно к оси
то есть компактный кусок графика при x\in[x_0;1] отобразится на себя
и потому имеет неподвижную точку.

Irina_Afanaseva

если при сжатии есть неподвижная точка, то она одна

soldatiki

Можешь график набросать, а то не очень наглядно.

soldatiki

Образ при любом сжатии обязан быть отделенным от оси ординат
Это почему? Ось ординат вовсе не обязана при сжатии оставаться на месте. Она будет двигаться, по-прежнему примыкая к хвосту графика и всё ок...

soldatiki

Да, действительно. Пример (1) подходит. Спасибо.
Видимо, надо формулировать так: пр-во полно т. и т. т. к. любое сжимающее отображение имеет неподвижную точку в любом замкнутом подмножестве, инвариантном для этого отображения.
Тогда в примере (1) шар без точки является (открыто-) замкнутым и инвариантен относительно сжатия (для подходящего отображения но не имеет неподв. точки.

soldatiki

Ап.

soldatiki

Уп-пс... К сожаленю, примерчик не подходит.
Есть сжимающее отображение без неподв. точки: переводим первый шар в одну точку из второго, а второй (который с дыркой) -- сжимаем в себя.
Однако, знающие люди говорят, что утверждение не верно, а контрпример можно построить даже в R^2.

bhyt000042

Ксть замечательная книжка: Контрпримеры в анализе. Регулярно встречал в букинисте.

stm6695598

В ответ на:
>--------------------------------------------------------------------------------
>Образ при любом сжатии обязан быть отделенным от оси ординат
>--------------------------------------------------------------------------------
>Это почему? Ось ординат вовсе не обязана при сжатии оставаться на месте. Она будет >двигаться, по-прежнему примыкая к хвосту графика и всё ок...
О чем вообще речь? Как "ось двигается", если мы наш график в себя отображаем?
Расстояние берется из евклидовой плоскости. Смотри внимательно.

stm6695598



Образ при любом сжатии обязан быть отделенным от оси ординат
Это почему? Ось ординат вовсе не обязана при сжатии оставаться на месте. Она будет двигаться, по-прежнему примыкая к хвосту графика и всё ок...
А что неясно в объяснении исходном:

так как диаметр образа при сжатии уже будет < 1,
а это в силу связности запрещает приближаться неограниченно к оси

soldatiki

Во-первых: почему график -- это полное пространство?
Во-вторых: можно попытаться построить сжим. отображение графика в себя, не имеющее неподв. точки: сдвинуть график по себе так, чтобы каждая волна синуса легла на следующую (которая ближе к нулю). Расстояние, насколько я понимаю, уменьшится, но неподвижной точки не будет.

Sanych

Во-первых, не полное , как и надо.
А во-вторых, там график синуса в треугольнике, так что предыдущие волны в следующих просто не уложатся... но правильнее рассуждение про диаметр и связность.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: