Доказать существование многочлена

tramal

Имеются многочлены P_n=z^n+... (многочлены степени n со старшим коэффициентом 1). Известно, что норма любого такого многочлена на дуге единичной окружности >=1 (все комплексное, норма - максимум модуля при этом норма z^n в точности равна 1. Доказать, что не существует многочлена P_n, отличного от z^n, c нормой 1.
Задачка очень простая, но меня клинит.

Barmaglot

Пусть существует мн-н Q(z) нормой 1, отличный от z^n. Тогда (из опр. нормы и из того, что норма любого >= 1) он совпадает с ним на дуге. Тогда из единственности аналитического продолжения ф-и определенной на мн-ве имеющем пред. точку (коим явл. дуга) Q(z) совпадает с z^n

tramal

хм... а почему он должен совпадать с ним на дуге?

tramal

блин, что-то я глупый вопрос задала.
почему аналитическое продолжение будет единственным? какая фамилия у этой теоремы, не помнишь?

Barmaglot

Теорема единственности (теории аналит. функций)
Если f1 и f2 аналитичны в обл. D и совп. на некоторой посл-ти точек, сходящейся к внутр. точке области D, то они совпадают в D.

tramal

ладна, спасиба

afony

Поделим наш многочлен на z^n. Получим функцию f(z аналитическую во внешности единичного круга (включая бесконечность и единичную окружность). Поскольку f(\infty)=1 и
|f(z)|<=1 на окружности, то по принципу максимума модуля f(z)=const. Следовательно наш многочлен был равен z^n. Если пугают рассуждения с бесконечной точкой, рассмотри функцию
g(z):=f(1/z).
2: Твои рассуждения не понятны. Как из того, что |P(z)|<=1 на окружности следует,
что он совпадает с z^n на дуге? Более простого док-ва, чем я привел мне неизвестно.
Почему же тогда из твоих рассуждений не следует, что iz^n совпадает с z^n?

tramal

все многочлены со старшим коэффициентом 1, поэтому iz^n не подходит
2. почему многочлен, деленный на z^n аналитичен?
3. почему |f(z)|<=1 на окружности? у нас известно только про то, что норма 1.

gavgav

Мне тоже интересно, почему многочлены должны совпадать на дуге.
Еще вопрос, это такая дуга, что на ней ЛЮБЫЕ многочлены со старшим коэффициентом 1 имеют максимум модуля не меньше 1, или мы фиксируем дугу и рассматриваем только подходящие многочлены?
И везде под нормой подразумевается максимум модуля многочлена на этой дуге?

wladkom

по определению
3. по построению

gavgav

Видимо, окружность м. б. не только с центром в нуле, тогда ее внешность может содержать 0.
3. Видимо, под нормой подразумевается максимум по дуге, а не по окружности, т. е. на окружности вне дуги модуль м. б. больше 1.

afony

По поводу 1:
Вопрос не тебе, а у. Я понимаю, что iz^n не подходит по условию, но в его рассуждениях не понятно как используется, что первый коэффициент равен 1.
2: Отношение двух аналитических функций аналитично, за исключением нулей знаменателя.
3: Видимо я недопонял условие задачи. Я доказал, что любой многочлен степени n с первым коэффициентом равным 1 и нормой на единичной окружности меньше либо равной 1 в точности равен z^n.
Следует ли понимать твою задачу так: длина дуги единичной окружности достаточно велика для того, чтобы для любого многочлена указанного вида его норма на этой дуге >=1; можно ли утверждать, что тогда любой такой многочлен с нормой =1 совпадает с z^n?

afony

Эту задачу мы можем обсудить сегодня после бородинского спецкурса .

tramal

Бородин сказал воспользоваться теоремой о единственности многочлена Чебышева
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: