Разрешимо ли уравнение в радикалах?

malivan

На работе возникла задача решать аналитически (а не численно) полиномиальные уравнения. Перечитала книжку про теорию Галуа: общая суть ясна, но нет абсолютно никаких указаний как решать конкретные примеры. В книжке разбираются только очень простые примеры наподобие построения группы уравнения x^8-1=0 и доказательства, что она разрешима. У меня же возникают более сложные уравнения.
Например, вот такое (я его сама сделала для примера):
x^8-8*x^7-12*x^6+184*x^5-178*x^4-664*x^3+580*x^2+744*x-71 = 0
Оно неприводимо над полем рациональных чисел и не имеет рациональных корней. Т.к. я сама его придумала, то знаю его корни, а потому априори знаю, что оно разрешимо в радикалах. Но если бы мне кто-то дал это уравнение, то я вообще бы была в растерянности.
Подскажите, плиз, если кто помнит, как бы вы строили группу этого уравнения и как потом проверяли бы разрешима эта группа или нет? То есть как бы вы выясняли разрешимо ли это уравнение в радикалах.

BSCurt

Но если бы мне кто-то дал это уравнение, то я вообще бы была в растерянности.
Смотри как я умею
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E8-8%2Ax%5E7-12%2Ax%...

malivan

Здорово! Спасибо! Когда-то давно делала подобные вещи в Wolfram Mathematica, но совершенно вылетело из головы.
А не знаешь как WolframAlpha делает это? Внутри ссылки описание алгоритма недоступно. По твоим ощущениям, насколько часто их алгоритм может дать сбой (т.е. уравнение разрешимо, а WolframAlpha не даёт решений)? Просто конкретно моё уравнение было очень простым и его можно после пары очень простых преобразований привести к заведомо разрешимому (после замены переменных "y=x-1" новое уравнение на "y" содержит только четные степени, а значит эффективно сводится к уравнению 4-ой степени).

Niklz

этого он не знает к сожалению...

BSCurt

Да как это реализуется вычислительно, думаю широко известно в узких круга, к которым я не принадлежу.

kolyan

а у меня по твоей ссылке одинокий зуб :(

toxin

Судя по названию, эта статья может помочь: Solvability by radicals from a practical point of view. G. Hanrot and F. Morain

malivan

Вау! Спасибо огромное! Похоже, то, что нужно. Надо подробнее разбираться, но начало очень многообещающе. Воодушевила ссылка на другую статью, где доказывается, что проверить уравнение на разрешимость в радикалах можно за полиномиальное время:)

malivan

Вот некоторые заметки (пока, правда одна :) ) о работе Mathematica, может быть, кому-то пригодится.
Пример, где Mathematica не может решить в радикалах разрешимое уравнение.
Уравнение Solve[5 - 6 x + 4 x^3 - 2 x^5 + x^6 == 0, {x}] никакого содержательного ответа не даёт. В то же время верно разложение:
5 - 6 x + 4 x^3 - 2 x^5 + x^6 = 2 + I) - (1 + I) x - (1 - I) x^2 + x^3)*2 - I) - (1 - I) x - (1 + I) x^2 + x^3)
Здесь I - это мнимая единица.
То есть ясно, что уравнение разрешимо в радикалах.
При этом факторизация по полю комплексных чисел в Mathematica работает нормально для этого случая. Т.е. команда
Factor[5 - 6 x + 4 x^3 - 2 x^5 + x^6, Extension -> I] возвращает разложение на два множителя, эквивалентное приведенному выше.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: