Задача по комплану

ARTi

Существует ли аналитическая функция, переводящая единичный круг в единичный круг без центра?
(думается-нет)

margo11

Если я еще не все забыл, то вроде
1) аналитическая фукнция непрерывна
2) при непрерывном отображении образ компакта снова компакт
3) круг - компакт
4) круг без центра - не компакт

stm6695598

открытый круг не компакт.
но направление мысли верное.
В круге любая кривая стягивается в точку, а в круге без точки - нет.

stm7537641

В круге любая кривая стягивается в точку, а в круге без точки - нет
Ну и что? Плоскость -- универсальная накрывающая плоскости без точки, например, и аналитическая (и даже голоморфная) функция $z\mapsto \exp(z)$ осуществляет это накрытие

margo11

Ну если круг открытый, то это совсем другое дело...

hakimus

Сформулируй условие точно!
Что такое "единичный круг"? Если |z| \leq 1, то ответ отрицательный.

z731a

если кург это {z: |z|<1}, то искомая функция expz+1)/(z-1

hakimus

да, если нужна аналитичность только внутри круга

sanosik

я считал, что "переводящая в" значит "гомеоморфно отображающая на".

stm7537641

Если понимать так, как Вы сейчас написали, то все очевидно (круг и круг без точки даже гомотопически неэквивалентны).

z731a

а где еще она требуется?

stm7537641

Геометрически это отображение по-видимому (лень проверять) должно быть устроено так. Функция $z\mapsto \frac{z+1}{z-1}$ отображает (открытый) круг в (открытую) левую полуплоскость, а $\exp$ отображает горизонтальную открытую полуполосу ширины $2\pi$ на круг с разрезом (при этом бесконечно удаленная влево точка переходила бы в 0, если бы была) так что мнимая прямая наматывается на единичную окружность. Таким образом получается бесконечнолистное накрытие круга без 0.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: