непростота групп порядка 336

vitamin8808

Показать, что не существует простых групп порядка 336. Какие идеи ?
Чё-то нужно крутить с нормалайзерами и вложениями в группу перестановок

Rumata

Не знаю, поможет ли это, но есть простая группа порядка 336/2=168 (это факторгруппа по +/-E группы SL(2,Z_7. Т.е. по-видимому достаточно доказать, что либо группа разрешима, либо содержит указанную подгруппу (которая поскольку индекса 2 автоматически нормальна).

Rumata

Кстати, если это нужно для научной работы, то оптимально я думаю сослаться на классификацию простых групп, а если это учебная задача, то я припоминаю, что близкие вопросы понятно изложены в книге Холла.

vitamin8808

ок, а для групп порядка 90 как ?

margo11

Давно этим не занимался. Так что проверяйте внимательно.
Пусть порядок группы G равен 90 = 2*3^2*5. По одной из теорем Силова у G есть силовская 3-подгруппа из 9 элементов. Количество таких подгрупп должно быть сравнимо с единицей по модулю 3 (опять же по одной из теорем Силова и, кроме того, это количество должно делить порядок группы (забыл как это объяняется...). Отсюда получаем, что силовских 3-подгрупп может быть либо 1 (и тогда она нормальна и примняем теорему - если подгруппа нормальна и разрешима и фактор по ней разрешим, то и исходная группа разрешима либо 10. Если их 10, то возможны два случая -
1) Все они пересекаются только по единице. Тогда считаем элементы: в 10 3-подгруппах, пересекающихся только по единице, будет 80 элементов и единица. Тогда силовская 5-подгруппа может быть только одна (их либо 1, либо сразу 6, т.к. количество сравнимо с 1 по модулю 5. Но пересекаться они могут только по единице, так что 6 (или больше) их быть не может следовательно, она нормальна, и делаем, как выше.
2) Найдутся две силовские 3-подгруппы Ф и Щ, которые имеют нетривиальное пересечение. Тогда это пересечение состоит из трех элементов и является подгруппой в Ф и в Щ, обзовем эту подгруппу У. Вспомним, что любая группа, имеющая p^2 (где p - простое) элементов, абелева. Значит, Ф и Щ - абелевы, поэтому элементы У коммутируют с элементами Ф и Щ. Теперь самое интересное. Рассмотрим минимальную подгруппу, содержащую Ф и Щ, обзовем ее Х. Эта подгруппа состоит из всех конечных произведений элементов Ф и Щ, поэтому все элементы Х коммутируют с У. Значит, Х имеет нетривиальный центр и имеет нормальную подгруппу. Теперь рассмотрим несколько вариантов того, какой порядок мог получиться у Х (ясно, что он делится на 9 и делит 90). 18 быть не может, т.к. в группе порядка 18 бывает только одна силовская 3-подгруппа. Если |Х| = 45, то в G есть подгруппа индекса 2 и она нормальна. Если же |Х| = 90, то X = G, а мы выяснили, что в Х есть нетривиальная нормальная подгруппа.
Ну вроде все.

Rumata

кроме того, это количество должно делить порядок группы (забыл как это объяняется...).
Т.к. силовские p-подгруппы сопряжены, их число равно индексу нормализатора произвольной такой подгруппы. В частности, число силовских p-подгрупп делит индекс силовской p-подгруппы.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: