Точная формула для числа Пи?

Arthur8

pi=(5/2)*arctg(sqrt(5+2*sqrt(5=3,1415926535897932384626433832795028841971693993751

Remik

ну да
http://www.wolframalpha.com/input/?i=tg%282%2Api%2F5%29
и что дальше?

Arthur8

pi = 2 arcsin (1)
-1 = e^(i*pi)

Vlad128

а это видимо точная формула для минус единицы?

Lene81

Мсье узнал о том, что тригонометрические функции от углов k\pi/5 выражаются явно?

sashok01

еще от k*pi/6 тоже выражаются. В чем смысл псто тс?

st2006

pi = 3

lena1978

:lol:
жжоте

Kevin111

Breakin' news!
Найдена точная формула числа π!

asseevdm

n! — это гамма-функция в смысле? :grin:

seregaohota

пи на Википедии
В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль (см.: en:Indiana Pi Bill законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2.[30] Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора университета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.
«Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска.[31]
По состоянию на 2010 год вычислено 5 триллионов знаков после запятой[17].

Malakh

А эти триллионы знаков где-нибудь используются?

L2JVIDOCQ

В спутниках может быть, ну и во всяком космическом.

otlichnica

Ни в каком космическом больше десяти знаков не нужно

L2JVIDOCQ

Думаю, для последнего эсперимента с сверхсветовыми нейтрино, большее количество знаков пригодилось бы. Хотя, конечно, не триллионы.

yulia84

Нам на матане рассказывали, что цифры после запятой представляют собой отличный генератор псевдослучайных чисел.

otlichnica

Для вычисления длины кольца с планковской точностью хватило бы 35 знаков; и это при условии, что диаметр измерен с такой точностью :]

L2JVIDOCQ

Ну надо не только длину кольца считать. Пи входит в уравнения Эйнштейна, например.

lerroy

да ладно, в космическом, вон на пару постов выше Крыс, а он то знает толк в космическом, пишет pi = 3

otlichnica

да, согласен, бывают всякие pi^4

demiurg

http://www.sciencedaily.com/releases/2005/04/050427094258.ht...
Pi Seems A Good Random Number Generator But Not Always The Best
ScienceDaily (Apr. 27, 2005) — WEST LAFAYETTE, Ind. – If you wanted a random number, historically you could do worse than to pick a sequence from the string of digits in pi. But Purdue University scientists now say other sources might be better.
Physicists including Purdue's Ephraim Fischbach have completed a study comparing the "randomness" in pi to that produced by 30 software random number generators and one chaos-generating physical machine. After conducting several tests, they have found that while sequences of digits from pi are indeed an acceptable source of randomness – often an important factor in data encryption and in solving certain physics problems – pi's digit string does not always produce randomness as effectively as manufactured generators do.
"We do not believe these results imply anything about a pattern existing in pi's number set," said Fischbach, who is a professor of physics in Purdue's College of Science. "However, it may imply that if your livelihood depends on a reliable source of random numbers, as a cryptographer's might, then some commercially available random number generators might serve you better."
Fischbach conducted the study with Shu-Ju Tu, a former graduate student who has since moved to a postdoctoral fellowship at the University of Texas M.D. Anderson Cancer Center. Their research paper appears in the International Journal of Modern Physics C, vol. 16, no. 2.
Pi, the ratio between a circle's diameter and circumference, has fascinated mathematicians for centuries. A bit larger than the number 3, pi cannot be expressed as a ratio of two whole numbers, and its apparently endless string of digits is sometimes expressed as 3.14159… Modern computers have enabled mathematicians to calculate the value of pi to more than 200 billion digits to the right of the decimal point. But no one has ever found evidence that calculating finer and finer values of pi will ever reveal an end to the string or that there is any regular pattern to be found within it.
Tu and Fischbach decided to test pi's randomness against the outputs of 31 commercially available random number generators (RNGs) that are frequently used for encrypting confidential information before it is stored or sent electronically. To produce numbers, many of these RNGs use an algorithm – a short set of instructions that can be repeated quickly – and it is the quality of the algorithm that makes one RNG more valuable than another.
"Strictly speaking, an algorithm does not produce a truly random number," Fischbach said. "Because its instructions are fixed, an RNG's output could, in theory, be predicted, if you knew what the algorithm was. Of course, anyone using a particular RNG will want to keep its algorithm secret, and for the most part RNGs are cleverly designed enough that they produce numbers that are 'sufficiently random' for encryption purposes."
The scientists took approximately the first 100 million digits of pi, broke the string up into 10-digit segments, and gave the segments a form that defines a point somewhere within a cube with sides one unit long. To specify each point, three such segments are necessary – one for each dimension. For example, the sequence 1415926535 was given the form 0.1415926535, which specifies the point's distance along the x-axis. Similarly, the two subsequent sequences give the point's y and z coordinates. All of the sequences thus became coordinates between zero and one, giving millions of points that lay within the imaginary cube.
"Each point within a cube lies at some distance from the cube's center – some are close, some farther away," Fischbach said. "If you graph their distribution from the center, what you get resembles a familiar bell-shaped probability curve. What we wanted to find out, in essence, was whether the points derived from pi's digits generate an identical curve, and also whether the commercially available RNGs do."
In addition to checking these curves against the predicted ideal, the scientists created a computer program that was able to test randomness even further. It also took groups of points, formed angles from the lines between them, and compared the measure of those angles. The program even took groups of coordinates and tested their randomness within imaginary cubes of six dimensions.
"This was our attempt to leave fewer stones unturned," Tu said. "We hoped additional tests might reveal hidden correlations between number sets that a single test might not have shown."
From the tests Tu and Fischbach ran, each RNG was given a letter grade according to how great its standard deviation, or sigma, was from the expected value. Pi's scores were consistently high across all the experiments, but what surprised them was that some of the RNGs performed even better in some situations.
"Our work showed no correlations or patterns in pi's number set – in short, pi is indeed a good source of randomness," Fischbach said. "However, there were times when pi's performance was outdone by the RNGs."
Pi never scored less than a B on the tests, and in one case outperformed all the RNGs, which in addition to mathematical algorithms included a device that uses turbulence in a fluid as its source of randomness. But in most cases, pi lost out to at least one RNG, and in several it finished decidedly in the middle of the pack. Fischbach emphasized that the results do not imply the existence of any patterns in pi's digit string, though he said would like to see more tests done.
"This study probably says more about our commercially available random number generators than the nature of pi," Fischbach said. "Some of them failed our tests outright. But they, and pi as well, might perform differently if the tests were run under different circumstances."
Fischbach mentioned that less than 1 percent of pi's known digits were used in the tests, and that cubes of dimensions other than 3 and 6 could be imagined.
"These tests are simple to reproduce with a desktop computer. All you need is time," he said. "It took us almost a year of work to crunch these numbers. We have included the program we used in the paper if anyone would like to try doing the analysis with a larger number set. I hope someone will because pi shows up in security systems, cryptography and other places that have nothing to do with circles. That's part of what gives it a fascination that will not go away."
This research was funded in part by the U.S. Department of Energy.

Malakh

отличный генератор псевдослучайных чисел.
триллионы псевдослучайных чисел?

seregaohota

Вот читаю и думаю, что какая-то мутная работа. Рандом генераторы кммерческие специально затачивают, одна из проверок чтобы корреляции не было чтобы числа не ложились на линии-гипреплоскости меньшей размерности при разбиении на двойки-тройки-шестёрки и т.д., так что чего тут так уж удивительного, что часто некоторые генераторы лучше пи, их же на этих тестах проверяют.
Кроме того, походу ребята считали для пи десятичные знаки после запятой, потом разбивали и т.д. В той же ссылке на википедии описан один из алгоритмов, который любую наперёд заданную шестнадцатеричную или двоичную цифру пи вычисляет без подсчёта остальных, там же алгоритм рядом, который на каждом шаге удваивает число верных знаков после запятой, и прочее, и прочее...
Не вижу чем пи хуже, только разве что при криптографии при попытке взлома не заложена ли проверка в дешифратор - попытка угадать, а не лежит ли в основе шифрования пи и цифры в его записи, в этом смысле конечно хреновый рандом, ну так можно взять другое трансцендентное число.

shpanenoc

попытка угадать, а не лежит ли в основе шифрования пи и цифры в его записи
хехехе.
Вот цифры: 7 1 7 4 5 7 4 7 1 0 4 1 5 7. Скажи мне, я использовал число Пи и цифры в его записи при генерации этой последовательности?

seregaohota

Нет. :) Ты используешь основание натуральных логарифмов e.
PS AFAIR есть теорема, что в записи любого трансцендентного числа встретится любая, наперёд заданная последовательность цифр, хоть "Войну и мир" зашифруй

vsjshnikova

PS AFAIR есть теорема, что в записи любого трансцендентного числа встретится любая, наперёд заданная последовательность цифр, хоть "Войну и мир" зашифруй
Очевидно нет, напр. 0.101001000100001000001... трансцендентное. А конкретно для \pi это вроде не доказано.

shpanenoc

вообще-то я взял несколько подряд идущих цифр в записи Пи (где-то с 8000-й) и вычеркнул каждую вторую :)

dunkel68

Установлен новый рекорд по вычислению знаков числа Пи - фундаментальная математическая константа была посчитана с точностью до 10 триллионов (1012) знаков после запятой, сообщается на официальном сайте проекта numberworld.org.
Рекордные вычисления провели американец Александр Йи и японец Шигеру Кондо. Предыдущий рекорд по вычислению знаков Пи после запятой - 5 триллионов - также принадлежит им. Для работы использовался специально созданный для вычисления фундаментальной константы компьютер, который работал 371 день. Десятитриллионная цифра числа Пи равна пяти.
На практике знание такого количество цифр числа не нужно. Так, например, 39 знаков числа Пи достаточно для того, чтобы вычислить длину окружности с диаметром, равным диаметру Вселенной, с погрешностью меньше диаметра одного атома водорода. Вместе с тем, с цифрами числа Пи связано большое количество теоретических вопросов, для которых подобного рода исследования - фактически экспериментальная проверка гипотез.

seregaohota

Так, например, 39 знаков числа Пи достаточно для того, чтобы вычислить длину окружности с диаметром, равным диаметру Вселенной, с погрешностью меньше диаметра одного атома водорода.
на немецком есть стишок на 40 знаков числа пи, видел в какой-то книжке, хотя в Piphilology его не нашёл
Наш дореволюционный стишок, поэтому в конце слов, оканчивающихся на согласные стоят Ъ, количество букв - равно очередной цифре числа пи
Кто и шутя и скоро пожелаетъ пи узнать, число ужъ знаетъ

другие варианты по упоминавшейся ссылке - на французском поэма на 126 знаков :), а также на мнемотехника

dunkel68

мне хватает того, что я знаю его без всяких стишков и прочих мнемотехник до 3,1415926535, т.е. 10 знаков

seregaohota

и я помню 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751, а кто-то не помнит
я вот последовательность спектральных классов звёзд навскидку не помню, а там есть стишок, или стек протоколов в инете - там много чего есть
один чел рассказывал они считали что-то инженерное заказчикам и попросили тестовых
примеров с известным результатом, не сходится
разбирались-разбирались, искали ошибку в прогах и алгоритмах - оказалось в аналитическое решение заказчики вместо пи 3.14 поставили, поэтому не сходилось. Долго матерились короче на заказчиков
PS 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751 я просто из топикстарта скопипастил :)
Если по нему судить, то у тебя ошибка округления в последнем знаке пи, которое ты помнишь :)

fabio

>я вот последовательность спектральных классов звёзд навскидку не помню
хорошо быть натуралом (c) oh be a fine girl kiss me

seregaohota

этот стишок про звёзды я помню :)

shale60

попытка угадать, а не лежит ли в основе шифрования пи и цифры в его записихехехе.Вот цифры: 7 1 7 4 5 7 4 7 1 0 4 1 5 7. Скажи мне, я использовал число Пи и цифры в его записи при генерации этой последовательности?
любая наперед заданная последовательность существует в последовательности цифер числа пи как подпоследовательность.
(кст., есть какой - нибудь критерий в общем виде для такой шняги?
вроде транцендентности и нормальности недостаточно)
Поэтому да, почему нет?

seregaohota

мне хватает того, что я знаю его без всяких стишков и прочих мнемотехник до 3,1415926535, т.е. 10 знаков
Кстати, когда я сижу в интернет браузере и мне нужна пи, я открываю новую вкладку и пишу в строке адреса вместо ссылки http:// пишу псевдокод

javascript:'π = ' + Math.atan(1)*4;

на пустой страничке должно появиться
[math]$\pi = 3.141592653589793$[/math]

lenmas

Круто!
А я обычно выполняю пару-тройку итераций вида x=x+2*cos(x/2) начиная с x=3 в какой-нибудь мелкой C-шной программе :)

dexyna

мелкой C-шной программе
Oh my.
#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main
{
printf("%.5f\n", M_PI);
return 0;
}

Точность — по желанию.

seregaohota

Круто!
А я обычно выполняю пару-тройку итераций вида x=x+2*cos(x/2) начиная с x=3 в какой-нибудь мелкой C-шной программе :)
написал в строке адреса вместо http:// небольшую программку :)

javascript:for(k=0,x=3; k<10; k++, x=x+2*Math.cos(x/2{document.write('x<sub>' + k + '</sub> = ' + x + '<br>')};

вижу примерно следующее
x0 = 3
x1 = 3.1414744033354056
x2 = 3.1415926535897243
x3 = 3.141592653589793
x4 = 3.141592653589793
x5 = 3.141592653589793
x6 = 3.141592653589793
x7 = 3.141592653589793
x8 = 3.141592653589793
x9 = 3.141592653589793

seregaohota

 

#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main
{
printf("%.5f\n", M_PI);
return 0;
}
вообще-то ты прав, в Javascript пи тоже готовая есть
 Javascript Math
так что в строке адреса можно просто написать

javascript:Math.PI;

но мне обычно не хватает точности, если мне скажем надо 30 знаков я в Maple пишу
evalf(Pi,30);  

seregaohota

Кстати, Wolfram Alpha онлайн
 pi to 100 digits

st2006

черчу круг
беру нитку и обвазу по окружности
после делю длину круга на 2 радиуса
около трех получается. Полученное число вбиваю в прогу

lenmas

беру нитку и обвазу по окружности
Ну и как ты обводишь нитку вокруг окружности? ;)

nozanin

и мне нужна пи
Можно вопрос?
А когда тебе понадобилось число пи точнее 3.14159265? И зачем?
:o :o :o
Правда, интересно жутко!

sashok01

Ну и как ты обводишь нитку вокруг окружности?

lenmas

Не мешай пытать Крысика! :p

lenmas

Забавно, что в вычислении того же cos в библиотечной функции используется точное значение для π.
Замкнутый круг прямо получается. Странно, что не вычисляется, используя какие-нибудь более
независимые формулы понижения.
Ну да в эти дебри реализации стандартных функций лучше не влазить.

Mausoleum

в вычислении того же cos в библиотечной функции используется точное значение для π.
Точное? Эвона как!
А какие-то идиоты до сих пор миллиарды знаков на коленке считают...

Vlad128

ну типа он преобразует sin(pi/6) в точную 1/2.

lenmas

Точное? Эвона как!
Ну, до разрядности типа :) То-есть сначала формулы приведения, потом несколько членов ряда.
А для вычисления точного значения π конечно используется явный ряд (например способ Мэшина).

seregaohota

А когда тебе понадобилось число пи точнее 3.14159265? И зачем?
в чмах например, (которые я делал на заказ в этом треде несколько раз, причем раз аж до 8000 знака, ещё кое-где
как-то спросил на семинаре зачем они маневры космического аппарата обсчитывают с точностью большей, чем инженеры импульс по точности могут дать - одно из разумных соображений было чтобы реальная траектория болталось около точного решения, а не фиг знает где, вот в чмах и я из тех же соображений беру все константы задачи со всей доступной точностью, что в double влезает - чтобы отклонение от аналитического решения где оно есть показывало погрешность алгоритма, а не погрешность, с которой я константы взял

seregaohota

я думал там CORDIC до сих пор, а он судя по вики на интел 486 кончился
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: