Решить 2 дифференциальных уравнения

gogas

Подруга из "заборостроительного" института подкинула проблем попросила помочь решить следующие 2 задачи по дифференциальным уравнениям, а я не знаю, как это решается. :(
Помогите, пожалуйста!
1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: [math]$xy' = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  + y$[/math].
2. Найти решение задачи Коши: [math]$y'' + y = \frac{1}{{\sin x}},{\rm{ }}y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1,{\rm{ }}y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}$[/math].

stm7543347

Няша анон, у тебя все получится! (c)

dmitry131

это решается
Просто (по кр.мере первое).
Если нигде не ошибся, то y+sqrt(y2+x2)=c*x2

lenmas

Теперь по теме.
В первой задаче переходим к полярным координатам.
[math]  $$  \left\{\begin{aligned}&x=r\cos\varphi\\  &y=r\sin\varphi\end{aligned}\right.  $$  [/math]
Тогда
[math]  $$  \frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\varphi}{dx/d\varphi}=\frac{r^\prime(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi}{  r^\prime(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi}=\frac{r^\prime(\varphi)\tg\varphi+r(\varphi)}{r^\prime(\varphi)-r(\varphi)\tg\varphi}  $$  [/math]
Подставляем в уравнение
[math]  $$  r\cos\varphi\frac{r^\prime\tg\varphi+r}{r^\prime-r\tg\varphi}=r+r\sin\varphi  $$  [/math]
или
[math]  $$  \frac{r^\prime\tg\varphi+r}{r^\prime-r\tg\varphi}=\frac{1+\sin\varphi}{\cos\varphi}  $$  [/math]
Выражая производную, получаем
[math]  $$  r^\prime\tg\varphi+r=\frac{1+\sin\varphi}{\cos\varphi}(r^\prime-r\tg\varphi)\Leftrightarrow  -\frac{r^\prime}{\cos\varphi}=-r\Bigl(1+\frac{\tg\varphi}{\cos\varphi}+\tg^2\varphi\Bigr)  $$  [/math]
откуда
[math]  $$  \frac{dr}r=\frac{1+\sin\varphi}{\cos\varphi}  $$  [/math]
После интегрирования это дает
[math]  $$  \ln r=\ln\Bigl|\tg\Bigl(\frac\varphi2+\frac\pi4\Bigr)\Bigr|-\ln|\cos\varphi|+C  $$  [/math]
и ответ
[math]  $$  r=C_*\frac{\tg(\varphi/2+\pi/4)}{\cos\varphi}  $$  [/math]
Какая-то известная кривая, наверное.
Задачу можно было решать также как однородное уравнение.

stat3032681

) Решение однородного уравнения С1*sin(x) + C2*cos(x).
Дальше нужно найти частное решение неоднородного: его можно найти в виде u(x)*sin(x) + v(x)*cos(x):
u' = ctg(x v' = -1
Общее решение: частное решение неоднородного + общее решение однородного
1) Действительно проще решить как однородное: делаешь замену u = y/x, тогда уравнение превращается в: u'x = sqrt(1+u^2 можно разделить переменные и взять интегралы от левой и правой части.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: