Исследовать сходимость разностной схемы

Goodnight18

Вот разностная схема с исходной задачей:

Нужно исследовать сходимость этой схемы. Подскажите - как это вообще делается для трехшаговых методов? Где можно почитать об этом?

griz_a

Может я чего-то не понимаю, но, по-моему, тут все сводится к оценке разности разностной формулы для производной и самой производной + оценки погрешности на первом шаге :confused:

Goodnight18

а как оценить погрешность на первом шаге? :confused:

griz_a

u'(0)=(u(h)-1)/h+O(h)
u'(0)+2=-5/2
u(h)-1=-9/2h+O(h^2)
u(h)=1-9/2h+O(h^2)

Goodnight18

спасибо большое!
тогда последний тупой вопрос - как через погрешность апроксимации и погрешность на первом шаге оценить погрешность решения? :confused:

griz_a

Простая оценка - погрешность на первом шаге делается единожды, далее n раз делается ошибка на последующих шагах

toxin

Для сходимости нужна не только аппроксимация, но и устойчивость. Если устойчивости нет, то на последующий шагах погрешность растет экспоненциально.

toxin

Устойчивость проверяется так: Вычисляем y_{i+1}=y_{i-1}-4hy_i+2hC. Это - линейная рекуррента. Считаем ее характеристические числа: x^2+4hx-1=0=> x_1=-2h+\sqrt{1+4h^2}, x_2=-2h-\sqrt{1+4h^2}. Модули этих чисел не превосходят 1+O(h)=> схема устойчива.

Goodnight18

для устойчивости нужно, кажется, чтобы корни характ. многочлена не превосходили по модулю 1, а 1+O(h) не факт, что меньше 1
здесь, по-моему, характеристический многочлен будет такой x^2-1=0

toxin

для устойчивости нужно, кажется, чтобы корни характ. многочлена не превосходили по модулю 1.
Это очень распространенное заблуждение. Посуди сам: если корень равен a, то погрешность от первого шага за n=1/h шагов возрастет в a^n раз. Если a=1+O(h то a^n=O(1). Просто следует учитывать, что если корни больше 1, то погрешность может сильно возрастать на больших интервалах интегрирования. Т.е. это влияет на константу, но не на порядок сходимости по h.

edmin35

устойчивость не имеет отношения к порядку сходимости по h

edmin35

схема не устойчива, т.к. один из корней характеристического уравнения меньше -1.
PS схема странная несколько: уравнение аппроксимируется со вторым порядком, а граничные условия с первым

Goodnight18

:confused: а где тут аппроксимация граничных условий?
расскажи - как ты нашел корни характеристического уравнения?
P.S: и уравнение там аппроксимируется не со 2-м порядком вовсе ;)

griz_a

Аппроксимация начальных условий - твоё y(h оно появляется именно из первого приближения.
Насколько я думал, аппроксимация начального условия идет с меньшей точностью чем шаг, потому что его погрешность разовая, а погрешность шага может учитываться до n раз

edmin35

аппроксимация граничных условий

да, тут не граничные, а начальные условия
корни характеристического уравнения писались
PS центральная разность дает второй порядок аппроксимации

Goodnight18

там функция u максимум 2 раза дифференцируема

Goodnight18

что-то никак не пойму - почему один из корней х.у. у тебя получился меньше -1?

edmin35

[math]$x_2=-2h-\sqrt{1+4h^2}<-1$[/math]

toxin

Погрешность граничных условий здесь O(h^2). Погрешность каждого шага - O(h^3) (хотя разность правой и левой частей для точного решения составит O(h^2 но при вычислении y_{i+1} мы домножаем уравнение на 2h и погрешность уменьшается). Шагов O(h^{-1} поэтому они дадут ту же по порядку погрешность (при наличии устойчивости конечно).

Goodnight18

следует ли из отсутсвия устойчивости отсутсвие сходимости?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: