Теорема Пуанкаре о возвращении

Marina32

напишите, плз, формулировку теорема Пуанкаре о возвращении, кто знает
ни в одной книге по Динамическим Системам найти не могу ничего

a7137928

Вероятностная формулировка подойдет?
Пусть Х - измеримое пространство с конечной мерой \mu, Т - сохраняющее меру (но не обязательно обратимое) преобразование пространства Х, А - измеримое подмножество Х. Тогда почти все точки А - возвращяющиеся, то есть для почти всех x\in A существует бесконечная последовательность натуральных чисел n_k таких, что
T^{n_k}(x) \in A \forall k
Источник: П. Халмош, "Лекции по эргодической теории "
Была еще механическая формулировка (что-то про то, что если в гамильтоновой системе взять начальное состояние как точку фазового пространства, или как оно там называется, и окружить эту точку в фазовом пространстве окрестностью, а потом выпустить из точки фазовую траекторию, то эта траектория попадет в выбранную окрестность бесконечное число раз)

Marina32

спасибо!
если в гамильтоновой системе взять начальное состояние как точку фазового пространства, или как оно там называется, и окружить эту точку в фазовом пространстве окрестностью, а потом выпустить из точки фазовую траекторию, то эта траектория попадет в выбранную окрестность бесконечное число раз
а это точно правильная формулировка?

pilates

Могу неточно уточнить...
Если в фазовом пространстве рассмотреть замкнутую траекторию (пусть такая существует например это выполняется если есть устойчивость в системе. Пересечем ее плоскостью. И выпустим из этой плоскости траекторию (например рядом с исходной). Она пойдет как-то достаточно близко к изначальной траектории (при определенных условиях но это не обязательно. По-моему утверждается, что существует конечный момент времени когда новая траектория пересечет плоскость. Потом соответственно еще раз и еще... . Интерес в данном случае представляет изучение точек пересечения траектории с плоскостью. На плоскости будут последовательно возникать точки. Может получиться так что они начиная с какого-то момента будут попадать "по циклу" сами в себя. Изучением таких вот вещей занимались и занимаются многие.

Marina32

примерно понял...
Поясни, плз, такую формулировку из лекций Татаринова, если она понятна...
Пусть P при-т I, тогда для каждого eps>0 сущ. t прин. Ueps(P такое что x(t) при-т Ueps(P)
Пусть g- отображение фазового потока за время t и для каждого Xo сущ. g^n(Xo n- целое
Пусть U при-т I, тогда сущетсвует n, что g^n(U) не пер-ся с U.
особенно непонятно, зачем нужны вторая и третья строчки - теорема-то форумулируется в первой. или нет?

pilates

Попробуем так:
Первый пункт говорит о том , что Если взять точку в "плоскости" (я пока для простоты объясняю в терминах прошлого поста выбрать для произвольного эпсилон окрестность (в многомерном пространстве "шаровую" то существует момент времени когда точка вернется в эту окрестность. То есть траектория в фазовом пространстве выйдя из точки Р плоскости будет пересекать плоскость (протыкать ее) и (возможно) образовывать новые точки, существует момент времени когда очередная точка попадет не куда-нибудь, а в эпсилон окрестность.
Вторая и третья строка (я расценил это как одно утверждение): пусть есть (видимо не тождественное) преобразование g(x0 где x0 из нашей "плоскости". Иначе говоря вместо рассмотрения пересечений траектории в фазовом пространстве с "плоскостью" просто говорят, что уже известна (имеется) ф-я отображения точки на плоскости в точку на плоскости. Так вот, рассматривают, что произойдет не с одной точкой, а с окрестностью. Утверждают, что существует n, что на n-ой итерации окрестность не пересечется с образом.
Иначе говоря, первая часть утверждает, что для достаточно малого эпсилон точка отобразится в эпсилон окрестность (вернется). Другая часть говорит о том, что найдется достаточно большое n что точка в окрестность не попадет, хотя видимо вернется на плоскость в другом месте.

pilates

Да, пояснение может быть неточным (или неверным я постарался как смог.

vital_m

Во-первых не понятно, что означает при-т, во-вторых, второе утверждение
не всегда верно. Из эргодичности оно, конечно, следует, а вообще, говоря --- нет.

Marina32

"при-т" означает принадлежит
а что такое эргодичность?

vital_m

T --- эргодично, если не существует нетривиальных подмножеств A \subseteq X
(имеющих меру 1 или 0 так что T^{-1} A = A.
Таким образом, преобразование эргодично, если нельзя выделить подмножество В
положительной (но не полной) меры, так что никакая точка из B не покинет B
при преобразовании T.
Это некий аналог связности.

Marina32

огромное спасибо, начал понимать! держи 5!

а где почитать об этом можно?

vital_m

Халмош рулит!
Или Корнфельд, Синай, Фомин что-то вроде "Эргодической теории".

vit-makovey

начальный уровень Cинай - " Введение в эргодическую теорию"
средний уровень - Корнфельд, Синай, Фомин " Эргодическая теория"
Продвинутый уровень - Синай " Современные проблемы эргодической теории"

a7137928

Еще:
П.Халмош, Лекции по эргодической теории
П.Биллингслей, Эргодическая теория и информация.
Это, я бы сказал, средний уровень, но в этих книжках все хорошо объяснено, отличные книжки.
КорнфельдСинайФомин - классика, типа КоФо для функана.
Насчет того, что "Введение в эргодическую теорию" Синая это начальный уровень - совершенно не согласен. Это, я бы сказал, продвинутый.

fatality

Если указанные книги нужны в электронном виде - могу порыться в своих закромах
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: