Как решить уравнение?

igor196505

Есть уравнение вида aX^8+bX^7=c , где константы a,b,c>0. Нужно найти решение в области X>0.
По идее решение существует и единственное, можно ли его выразить в явном виде? Или напомните мне как в численных методах вычисляется решение такой штуки...

igor196505

Кароче, пока нахожу решение просто перебором увеличивая Х пока не нарушится условие aX^8+bX^7-c < 0. Остался вопрос - можно в явном виде выразить это решение?

asora

нельзя, степень многочлена больше 4

griz_a

Это многочлен не общего вида, т.ч. аругмент не очень.
Хотя кажется действительно нельзя

Myauto

Mathematica считает, что нельзя.

Andrey56

Может так: y=x^8, a*y+b/8*dy/dx=c

griz_a

Ну так это же не тождество, а в одной точке выполняется, так что дифура не получится

seregaohota

Есть уравнение вида aX^8+bX^7=c , где константы a,b,c>0. Нужно найти решение в области X>0.
По идее решение существует и единственное, можно ли его выразить в явном виде? Или напомните мне как в численных методах вычисляется решение такой штуки...
Метод Ньютона для f(x) = ax^8 + bx^7 - c
x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
x_0 > 0 произвольно, возьми x_0 = (с/a)^{1/8}.

mcfly67

А еще можно методом деления пополам

seregaohota

Метод Ньютона или касательных получается из тех соображений, что если выписать первые два члена для ряда Тейлора (ну или уравнение касательной как в школе - IMHO все помнят)

y = f(x_0) + f'(x_0) * (x-x_0)

и положить y=0, то решая относительно x и получим формулу Ньютона.
PS Надеюсь не забудешь теперь и не будешь спрашивать как это численно решается... Сам выведешь когда надо. Ну и интернет есть.

seregaohota

Кстати, если заменить в методе Ньютона производную на конечную разность

f'(x_0) заменить на ( f(x_1) - f(x_0) ) / (x_1 - x_0)

то получится метод секущих, который запускается с двух произвольных точек x_0 и x_1.
PS Сходимость метода деления пополам очень медленная - 10 вычислений на 3 знака после десятичной точки, т.к. 2^10 = 1024. Ньютон быстрее гораздо, если с x_0 угадал - на каждом шаге удваивает число верных знаков. Секущих чуть медленнее, применяется когда с вычислением производной проблема.

mcfly67

да кто спорит, просто метод деления пополам наиболее простой и наглядный. Нам его еще в 8 классе рассказывали на информатике

seregaohota

да кто спорит, просто метод деления пополам наиболее простой и наглядный
Ньютона ещё ненагляднее Уравнение касательной по моему опыту вдолбили всем. Когда в самом задрипанном институте непонятно что спросить у чела, чтобы вытянуть его на тройку - спроси уравнение касательной. IMHO
Может, правда, МГУ выше этого.
PS Для очень плохих функций и то деление пополам IMHO не применяется. Сначала для начальной локализации корня работает обычно золотое сечение, потом секущих и Ньютона в конце, если производная считаема. Бывают правда особые случаи для вычисления чего-то особенного.

igor196505

Всем спасибо... а я надеялся что можно будет вбить явную формулу...

seregaohota

я надеялся что можно будет вбить явную формулу
Смотря для чего надо. Может можно обозначить корень буквой и использовать в дальнейших выкладках, может у тебя какой параметр типа b маленький и по нему можно в ряд разложить и т.д.

svetik5623190

Кто силён в алгебре, просто посчитайте группу Галуа для данного уравнения, если она разрешима то уравнение разрешимо в радикалах.

seregaohota

Вряд ли. Maple бы выдал наверно. Хотя есть какое разрешимое уравнение выше 4 степени для примера, скормить бы и посмотреть что с ним сделает?
PS Глянул, например
x^5-1, x^5+1, x^5+x+1 решает
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: