Уравнения теплопроводности и Лапласа

vitalievna

почему уравнение теплопроводности относится к параболическому типу, а уравнение Лапласа -к эллиптическому?
Берем коэффициенты при старших производных, получаем в одном случае 1, в другом а квадрат (делим на а квадрат, получаем ту же единицу).
Старших производных по времени нет, смешанных -тоже. Так какая замена переменных нам дает разные типы?
С гиперболическим при этом все прозрачно.

fabio

какбэ в эллиптических - нет производных по времени

urka3000


для теплопроводности:
0 - 0* a^2 = 0
для лапласа:
0 - 1*1 < 0

vitalievna

да тихонов, самарский у меня тоже есть.
а11 - производная по времени (вторая коэффициент при ней, а22 - по пространству (пущай себе по x для простоты смешанных производных нет.
ОБА множителя обращаются в нуль.
Ибо dU/dt=-a^2*(d^2U/dx^2) и d^2U/dx^2=0 соответственно.
Или ты предлагаешь Лапласа считать двумерным и старшие производные брать по х и у отдельно без времени?

vitalievna

Или ты предлагаешь Лапласа считать двумерным и старшие производные брать по х и у отдельно без времени?
а что тогда с трехмерным случаем делать? Да и в уравнении теплопроводности двумерность пространства тоже никого не смущает. Трехмерность тоже.

fabio

напиши полностью уравнение

demiurg

а сколькимерный лаплас по-твоему в такой классификации? Если одномерный, то и смысла классифицировать нет.
В уравнении диффузии нету второй производной по времени.

vitalievna

ну, для трезмерного лапласа d^2U/dx^2+d^2U/dy^2+d^2U/dz^2=0
в общем случае дельта U=0
для теплопроводности dU/dt+d^2U/dx^2d^2U/dy^2+d^2U/dz^2=0 в пространстве, в обшем случае та же дельта.
Лапласу ведь тоже никто не мешает одномерным быть.

vitalievna

а сколькимерный лаплас по-твоему в такой классификации?
а с трехмерным как? одну из координат берем как один коэффициент, вторую-как второй? Или как случай нескольких переменных рассматриваем и классифицируем по знаку определителя?

vitalievna

dU/dt+d^2U/dx^2d^2U/dy^2+d^2U/dz^2=0
только производная по времени с множителем минус единица на а квадрат.
Но вроде понятнее стало

demiurg

Ну правильно же работает с определителем :)

vitalievna

:o
всем спасибо, действительно стало понятнее.
Я почему-то считал, что при первом коэффициенте должна быть вторая производная по времени и, если она ноль (а она ноль то случай параболический.
Даже если зависимости от времени нет вовсе. :cool:

urka3000

ну если есть Тихонов-Самарский, то для трех- ( и далее-)мерного лапласа читай со страницы 18.
Рассматривается соответствующая квадратичная форма и знаки при коэффициентах

vitalievna

я уже понял свою беспросветность, спасибо :)
И даже разобрался.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: