Еще задача по геометрии

aldo63

С помощью циркуля и линейки найти в прямоугольном треугольнике ABC точку O такую, что угол OAB = углу OBC = углу OCA.

491593

если ABC - прямой угол, то одна из кривых - окружность построенная на AB как на диаметре. Про вторую окружность пока не понял.

a101

От прямоугольности можно отказаться.
1. Посмотрим на угол AOB
[math]$$\angle AOB = \pi - \angle OAB - \angle OBA = \pi - \angle OBC - \angle OBA = \pi - \angle ABC$$[/math]
2. Множество точек O с таким условием - дуга окружности, проходящая через A и B. Пусть R центр этой окружности. Тогда R лежит на серединном перпендикуляре для точек A и B. Кроме этого (выкладки для острого угла):
[math]$$\angle RBC = \angle RBA + \angle ABC = (\pi - \angle ARB) / 2 + \angle ABC = (\pi - (2 * (\pi - \angle AOB / 2 + \angle ABC = \angle AOB + \angle ABC - \pi /2 = \pi /2 $$[/math]
То есть точка R лежит на перпендикуляре к стороне BC в точке B. В случае угла AOB равного pi/2 точка R есть середина стороны AB. В случае тупого угла центр окружности будет относительно прямо AB с той же стороны, что и точка С.
3. Строим три такие окружности, точка их пересения как раз и будет та, что мы ищем.

aldo63

супер
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: