Задача по матанализу

asora

можно ли привести пример функции f(x,y) непрерывной по каждой переменной в отдельности,но разрывной в любой точке (x,y) ?

juliya21

del

Sanych

Доказательство получилось довольно длинное (теория все же забывается постепенно записывать лень, но с виду правильное, а ответ - такой функции не существует.
Идея доказательства в том, что если функция в некоторых точках горизонтальной прямой принимает отличающиеся значения, то они и на близких прямых останутся отличающимися. Правильно организовав предел, чтобы каждый раз оставаться в рамках этих "близких" прямых, получаем, что либо в окрестности предельной точки этот скачок останется, и не будет горизонтальной непрерывности на проходящей через неё прямой, либо максимальная разность будет стремиться к нулю, и тогда из "равномерной непрерывности" по горизонтали, следует просто непрерывность в точке.
PS. А мнения-то разделились . Впрочем, ошибок я у себя что-то не вижу.

romanenkoroman1

xy/(x^4+y^4 доопределённая нулём в (0,0)

MaMMolog

и где она разрывна в любой точке?

romanenkoroman1

и где она разрывна в любой точке?
упс, да, только в одной, что-то я про все точки забыл.
Тогда так: эту функцию называем f0,0(x,y). g0,0(x,y) = sinf0,0(x,y).
Из этих функций gr1,r2(x,y) - где r1, r2 - все пары рациональных чисел, составляем сходящийся ряд. Т.к. всё ограниченно, сойдётся он равномерно и всё будет непрерывно по каждой пер-нной при фиксированной второй. С другой стороны, в любой окресности каждой точки есть последовательность рац. точек и слагаемых, в этих парах разрывных

Lokomotiv59

сойдётся он равномерно
неправда

griz_a

Вообще, идея такого примера возникает сразу и упирается в то, что надо интегрировать, а не суммировать, а интеграл неконтинуальные разрывы сгладит. Да и Вове стоит поверить, думаю.

romanenkoroman1

Да она и по переменным разрывна в точке 0

Гон: если y=0, то ф-ция (по х) - тождественный ноль => непрерывна, а если у не ноль, то знаменатель в ноль не обращается, снова непрерывна.
В ответ на:
--------------------------------------------------------------------------------
сойдётся он равномерно
--------------------------------------------------------------------------------
неправда

признак Вейерштрасса никто не отменил ещё

romanenkoroman1

Вообще, идея такого примера возникает сразу и упирается в то, что надо интегрировать, а не суммировать, а интеграл неконтинуальные разрывы сгладит.
Пила ван дер Вардена - всюду непрерывная, нигде не дифференцируемая ф-ция - так и строится

vitamin8808

это теорема не помню кого, что если f на квадрате [0,1]^2 непрерывна по каждой переменной, то найдётся точка, в которой она непрерывна по переменной (x,yну а значит множество таких точек всюду плотно). Доказывается через теорему Бэра о категориях.

soldatiki

Доказывается через теорему Бэра о категориях.
+1
Эту задачу разбирал В.И.Богачев на прошлогоднем спецсеме по действану для второкуров.

wendy8

Доказывается через теорему Бэра о категориях.
А можно доказательство в студию? Для совсем тормозов .
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: