Мощность множества

meles

вопроc, который не дает мне покоя..
дано 2 множества - всех вещественных чисел из отрезка [0..1] и из квадрата [0..1]x[0..1]
Спрашивается, равномощны или нет эти множества и как это доказать.

Forsit

Любая книжка по теории множеств даст ответ на твой вопрос.
Равномощны.

tatako64

Координата точки в квадрате однозначно отображается в точку на отрезке 0,xxxxx... 0,yyyyyy... -> 0,xyxyxyxy....

Forsit

Но там есть пара тонких моментов, связанных с тем, что
0.9999999..=1.0000000..

tatako64

Согласен
Ужми отрезок до безобразия и примени теорему Кантора-Бернштейна. Т.е. для любого случая нехорошие точки можно "распихать по углам".

Forsit

Я эту теорему знаю, и неоднократно доказывал.
А вот поймет ли автор треда

_shmel_

Я эту теорему знаю, и неоднократно доказывал

И каждый раз ох...ал

Xephon

например, тут

3qqq

Точек, хотя бы одна координата которых оканчивается на (999)||(000) (т.е. конечных десятичных дробей счетное множество U. Для них соответствие корректно.
Между счетными множествами неприкаянных точек квадрата U и неприкаянных точек отрезка I\Im(I^2\U) устанавливается произвольная биекция.

3qqq

Жаль, сказал неправду: множество I\Im(I^2\U) несчетно.
Аккуратный пример - Гелбаум, Олмстед, 10.5, но c обращением к т. Кантора-Бернштейна.

z731a

а в чем тонкость момента?
считаем, что 1 - это 0.9999..... и далее обращаемся с ней только так....

vodnik2

хотя ответ автору треда уже давно дан, вставлю и свои 5 копеек
а в чем тонкость момента?
считаем, что 1 - это 0.9999..... и далее обращаемся с ней только так....

тогда предложенное отображение
0,xxxxx... 0,yyyyyy... -> 0,xyxyxyxy....

либо не совсем корректно определено (так так у счетного множества точек из отрезка 2 кодировки, а разные кодировки приводят к различным точкам в квадрате либо не будет сюръективным, так как (если выбрать только один из способов кодирования "плохих" точек) в одну из точек 0,50595959... или 0,515050505050 ничего не перейдет

z731a

ясно, пасиб

meles

Я эту теорему знаю, и неоднократно доказывал.
А вот поймет ли автор треда

Поймет

belovrs

там есть еще теоремка, что если есть инъекция в одну сторону и инъекция в обратную, то множества равномощностны. строим инъекцию из квадрата в отрезок: (0,ххххх...0,ууууу...)->(0,хухухуху... инъекция обратно очевидна: отрезок в ребро квадрата.

spiritmc

Кантора-Бернштейна.
---
"...Надо учиться --- не напрягаясь!.." Акад. А.А.Бучаченко.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: