Вычислить интеграл без ТФКП

forester_200

[math]$\int\limits_0^{+\infty}\frac{cos ax}{1+x^2}dx$[/math]
Ответ известен, но как доказывать — непонятно.
Как правило, в таких случаях интеграл обозначается через [math]$F(a)$[/math], затем функция [math]$F(a)$[/math] дифференцируется, после внесения оператора дифференцирования под интеграл и преобразований [math]$F'(a)$[/math] выражается через [math]$F(a)$[/math] и, таким образом, получается дифур на [math]$F(a)$[/math], откуда [math]$F(a)$[/math] благополучно находится.
Но как в данном случае делать — ума не приложу :confused:

Andrey56

вроде через вычеты такие решаются

forester_200

Ах да, забыл сказать, ТФКП использовать нельзя.
Через вычеты действительно всё просто.

griz_a

[math]$ I = Re \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iax}}{1+x^2}dx  = Re \lim\limits_{R\rightarrow\infty} \int\limits_{-R}^{R} \frac{e^{iax}}{1+x^2}dx. $[/math]
Далее дополняем отрезок полуокружностью, при [math]$a>0$[/math] - нижней, иначе верхней. Интеграл по полуокружности будет не превосходить [math]$\pi \frac{R}{R^2-1}$ [/math], поскольку полуокружность взята так, что экспонента на ней не превосходит 1. Следовательно стремиться к 0. Значит искомый предел равен интегралу по контуру, то есть [math]$2\pi i $[/math]на вычет в точке i или -i, смотря какой знак a. Вычет в полюсе первого порядка считается просто. Ответ должен получиться [math]$\pi e^{-|а|}$[/math] вроде.

forester_200

Фрау, сорри. Сразу не написал, отнял у тебя время.
Надо без ТФКП :confused:

griz_a

[math]$I(a)=\int_0^{\infty} \frac{cos ax}{1+x^2} dx=1/a \frac{sin ax}{1+x^2}|_{0}^{\infty} - 2/a \int_{0}^{\infty} x \frac{sin ax}{(1+x^2)^2}dx$[/math]
[math]$-I(a)=2/a \int_{0}^{\infty} x \frac{sin ax}{(1+x^2)^2}dx$[/math]
[math]$\int a I(a) da= 2 \int_{0}^{\infty} \frac{cos ax}{(1+x^2)^2}dx$[/math]
[math]$\int a I(a) da - (aI(a'=2 \int_{0}^{\infty} \frac{cos ax}{(1+x^2)}dx=2 I(a)$[/math]
Таким образом
[math]$F(a)-F''(a)=2 F(a)/a$[/math], где [math]$F(a)=\int a I(a) da$[/math]

forester_200

Во второй строке у меня нет минуса перед I(a).
В третьей строке вылез минус, т.е.
[math]$\int aI(a)da=-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{cos ax}{(1+x^2)^2}dx$[/math]
Дальше какое-то волшебство. Фрау, не мог бы ты чуток поподробнее изложить мысли. Пытался реконструировать твою логику — никак :confused:

forester_200

В четвёртой строке у меня получается так:
[math]$\int aI(a)da-(aI(a'=-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{cos ax}{(1+x^2)^2}dx-(I(a)+aI'(a=-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{cos ax}{(1+x^2)^2}dx-I(a)+a\int\limits_0^{+\infty}\frac{xsin ax}{1+x^2}dx=\dots$[/math]
Как эти выкладки привели к [math]$2I(a)$[/math]?

griz_a

А, да, я минус с самого начала потерял, там же производная 1/(1+x^2)
А вообще нет никакого волшебства, я пользуюсь простой формулой
[math]$\frac{cos ax}{(1+x^2)^2}+\frac{cos ax * x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{cos ax}{(1+x^2)}$[/math]
Интеграл от первой штуки (то есть \int a I(a) da) плюс интеграл от второй (то есть (- a I(a') есть интеграл от третье, то есть I(a)

mtk79

осталось теперь прояснить, как решать дифур (если без привлечения ТФКП, то возможно и без дифуров) и вычислить два интрегала с 1/(x^2+1)^{1,2} для нач.условий

forester_200

Интеграл от первой штуки (то есть \int a I(a) da)

Только там чуток по-другому:
[math]$\int\limits_0^{+\infty}\frac{cos ax}{(1+x^2)^2}dx=-\frac{1}{2}\int aI(a)da$[/math]
т.е. впереди числовой множитель, но это не суть. Непонятно следующее:
плюс интеграл от второй (то есть (- a I(a')
Интеграл от второй штуки — это [math]$\int\limits_0^{+\infty}\frac{x^2cos ax}{(1+x^2)^2}dx$[/math]. (1)
Однако
[math]$(-aI(a'=-I(a)-aI'(a)=-I(a)+a\int\limits_0^{+\infty}\frac{xsin ax}{1+x^2}dx=$[/math]
[math]$=-\int\limits_0^{+\infty}\frac{cos ax}{1+x^2}dx+a\int\limits_0^{+\infty}\frac{xsin ax}{1+x^2}dx=$[/math]
[math]$=-\int\limits_0^{+\infty}\frac{cosax-axsin ax}{1+x^2}dx=$[/math]
[math]$=\int\limits_0^{+\infty}\frac{axsin ax-cosax}{1+x^2}dx$[/math] (2)
Фрау, почему выражения (1) и (2) равны?

mtk79

потому что нужно дифф-вать 2-ю строчку, а не по частям

forester_200

потому что нужно дифф-вать 2-ю строчку, а не по частям
Я так понял, речь идёт о дифференцировании
[math]$I(a)=\frac{2}{a}\int\limits_0^{+\infty}x\frac{sin ax}{(1+x^2)^2}dx$[/math]
(минус убрал, у ФрауСоболевой здесь ошибка)
Смотри, что там получается:
[math]$(aI(a'=(2\int\limits_0^{+\infty}x\frac{sin ax}{(1+x^2)^2}dx)'=2\int\limits_0^{+\infty}x\frac{a cos ax}{(1+x^2)^2}dx$[/math]
Как это выражение связано с интегралом от "второй штуки", т.е. с [math]$\int\limits_0^{+\infty}\frac{x^2cos ax}{(1+x^2)^2}dx$[/math] ?

griz_a

Вы как-то странно предпоследнюю строку по а продифференцировали. x должен был вылезти вместо a, однако.

mtk79

как я понимаю, в конце д.б. не 2F(a)/a, а 2F'(а)/а, что конечно мелочи

griz_a

Он же спрашивал что делать - я примерно и набросал. Разумеется, арифметика подвела, но не так важно, на мой взгляд.

forester_200

Да, и вправду — там а вылазит, невнимателен.
Трэд можно закрывать. Нашлось решение в две строчки.
Всем большое спасибо за обсуждение! :D
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: