напомните метод Ньютона

jozu

Напомните, пжл, метод Ньютона для решения ДУ. Инет упал.
Задача такая
[math]  [res=120]  $$  x'' + cos x = sin t  $$$$  0<t<\frac\pi2  $$$$  x(0)=0  $$$$  x\left(\frac\pi2\right)=0  $$  [/math]

k11122nu

метод Ньютона состоит в том, что ты рассматриваешь на i-ом шаге время t_i, координату x_i и скорость x'_i, ускорение находишь по выписанной формуле с подстановкой x, x' и t i-ого шага, затем записываешь скорость как x'_{i+1} = x'_i + dt * x'',
координату как
[math]$x_{i+1} = x_i + x'_i \cdot dt + \frac{1}{2} x''(t_i,x_i,x'_i) \cdot dt^2 $[/math]
и так на каждом шаге.

edmin35

это же не задача Коши, как определить
[math]$x'_0?$[/math]
или же описанным способом получается система уравнений, которую решать надо?

k11122nu

был вопрос, что такое метод Ньютона, а не как решать конкретное уравнение. Конкретное уравнение можно решать методом стрельбы, например, в комбинации с методом Ньютона. А может, есть и хорошие способы, ориентированные именно на такие уравнения.
Кстати, этот метод ньютоновским называют только физики. В учебниках он фигурирует, по-моему, как метод Эйлера или кого-то еще. Так что не уверен на сто процентов, что автор хотел именно это.

seregaohota

так как у тебя x(0)=x(\pi/2)=0, то есть надежда, что во всё время движения x мало и \cos(x)=1 приблизительно. Решаешь аналитически
x'' + 1 = \sin t
наверное оттуда будет хорошее приближение для x'(0).
Для метода стрельбы кроме интегратора f(p который по начальному значению производной p выдаёт невязку-промах f=x(\pi/2) нужно программить ещё к-либо метод нахождения корней уравнения f(p)=0. Далее берёшь интегратор и скармливаешь методу нахождения корней с заданной точностью. Для поиска корней уравнения есть тоже метод Ньютона, может он имеется в виду. Только он требует производной по параметру p, которую можно численно посчитать или аналитически - по теореме дифференцирования решений дифур по параметрам и нач. данным. А можно метод секущих или бисекции, там без производных обойдёшься.
Удачи.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: