Уравнение u''+cu'+f(x)u=0. Ненулевое решение

sonika

Привет, товарищи.
Вопрос такой, при каких условиях на функцию f(x) уравнение u''+cu'+f(x)u=0 не имеет ненулевых решений.
u \in C^{\alpha+2}.
Если знаете, как разрешить уравнение такого вида, было бы тоже неплохо.
Спасибки!

svetik5623190

Если знаете, как разрешить уравнение такого вида, было бы тоже неплохо.
Спасибки!
МГУ форева...
:crazy:
Это линейное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Решается обычно методом вариации произвольной постоянной. Процесс решения подробно описан в любом классическом учебнике по дифференциальным уравнениям, плюс очень полезно будет заглянуть в задачник А.Ф.Филиппова. Я почти уверен также, что все современные матпакеты (Мэпл, Матлаб, Маткад и т.п.) решат это уравнение.

vovatroff

Вопрос такой, при каких условиях на функцию f(x) уравнение u''+cu'+f(x)u=0 не имеет ненулевых решений.
u \in C^{\alpha+2}.
Если знаете, как разрешить уравнение такого вида, было бы тоже неплохо.
В общем виде (т.е. через квадратуры) при произвольной f(x) не решается, конечно.
Но при не очень хороших f(x) можно показать, что и нетривиальные решения тоже
будут не слишком гладкими, как и требуется. Скажем, если f(x) - кусочно-непрерывная
функция со скачками, то нетривиальных решений класса C^{2} на всей оси, вообще
говоря, не будет, как следует просто из вида уравнения (ну или элементарное док-во от противного);
единственный случай, когда этот аргумент не сработает - это если нули
решения в точности совпадут со скачками f(x) :)
Для более тонких рассуждений, видимо, потребуются теоремы вложения.

sonika

О, спасибо.
Есть предположение, что
если f(x)<0 \forall x \in R, то нетривиальных решений не существует.
Не подскажешь, как можно проверить, ложно ли это предложение или нет?

griz_a

u''-u=0 имеет отличные нетривиальные решения

sonika

Опа! Ты прав. Спасибки.
А если потребовать дополнительно c>0.
Можно, наверное, подстановочкой вернуться к u''-u=0 ?

Hana7725

Для постоянных коэффициентов всегда будут решения. Но в первом посте упоминались пространства C^(2+alphaR?). Чему равно alpha, какая там норма? Если требуются ограниченные на R решения, то у u''-u=0 кроме нуля их нет.

sonika

u''+cu'+f(x)u=0, c=const, f(x) \in С^{2+alpha}(R).
С^{2+alpha}(R) - множество функций, вторые производные которых принадлежат гёльдерову пространству H^{alpha}(R 0<alpha<1. (|u(x1)-u(x2)| <= A*|x1-x2|, A=const).
||u||_{H^{alpha}(R)} = \max_{x \in R}|u(x)| + \max_{x1,x2 \in R} |u(x1)-u(x2)|/|x1-x2|^{alpha}
по аналогии, если не ошибаюсь:
||u||_{H^{alpha}(R)} = ||u||_{C^2} + \max_{x1,x2 \in R} |u(x1)-u(x2)|/|x1-x2|^{alpha}

Hana7725

Что от u требуется? В первом посте накладывались условия на u, а сейчас только на f. Решения для таких f всегда существуют. Вот если решения должны принадлежать С^{2+alpha}(R может, их кроме нуля и не будет, поскольку они должны быть ограниченными.

sonika

Извини, очепятка.
Ищем решение в этом классе функций, u \in C^{2+alpha}

Hana7725

А откуда такая задача вообще? Какой-то странный класс гладкости для учебной. Тут в гладкости дело или чтобы решение было ограничено на прямой? Если в гладкости, то естественно потребовать, чтобы f\in C^\alpha(R).
Или есть еще какая-то специфика?

vovatroff

Тут в гладкости дело или чтобы решение было ограничено на прямой?
Тут дело, видимо, и в том, и в другом, потому что пример Фрау Соболевой показывает,
что даже при f=const имеются нетривиальные решения - гладкие, но экспоненциально
растущие на бесконечности => не требуемого класса, если я правильно понимаю,
что такое гёльдеровость на всей оси.

vovatroff

Есть предположение, что
если f(x)<0 \forall x \in R, то нетривиальных решений не существует.
Видимо, имеются в виду нетривиальные решения требуемого класса.
Гладкость решения как таковая от знака f не зависит, по идее. Зависит только
от гладкости f. Однако могут быть проблемы с равномерной ограниченностью
решения на всей оси.
Не знаю, верна ли ваша гипотеза в общем случае, но если для простоты
взять просто f=const разного знака, то решения ищутся методом Эйлера, и
просто из вида характеристического многочлена тогда следует, что
глобально ограниченные нетривиальные решения (синусы-косинусы или
константа) будут только одновременно при c=0 и f>=0 (физ. смысл -
незатухающие колебания).
Так что знак f действительно может быть важен. Другое множество примеров можно
почерпнуть из одномерных задач квантовой механики. Тогда c=0, f(x) - локальная разность
полной и потенциальной энергии частицы, и поведение решения на бесконечности
действительно сильно зависит от знака f(x).

Hana7725

 
Тут дело, видимо, и в том, и в другом, потому что пример Фрау Соболевой показывает,
что даже при f=const имеются нетривиальные решения - гладкие, но экспоненциально
растущие на бесконечности => не требуемого класса, если я правильно понимаю,
что такое гёльдеровость на всей оси.
  
Ага, sup|f| входит в норму пространств Гельдера у .
Случаи негладких f при требовании решения из C^{2+alpha} неинтересны.
Если f\in C^alpha(R) и отделена от нуля, т.е. f<= -eps<0, то это верно. Думаю, что если f неположительна на R, и f<= -eps<0 вне некоторого отрезка, то, скорее всего, тоже верно. В более общей постановке непонятно. Однако, может, единственность имеется и при более слабом условии: f неположительна на R и в какой-то точке отрицательна.
2 есть ли контрпримеры к этому или f<0 точное условие? Или, может, это одномерный случай эллиптической задачи, отсюда и классы? :)

sonika

Ты прав, f\in C^\alpha(R).
Это подзадачка задачки на доказательство существования решений в виде бегущей волны.
Требуется найти решение в заданном классе функций.

sonika

Если f\in C^alpha(R) и отделена от нуля, т.е. f<= -eps<0, то это верно.
Скажи, как можно это доказать?

sonika

Исходная задачка ставилась так:
есть оператор
Lu=u''+cu'+f(x)u
L : C^{2+alpha} -> C^{alpha}
Нужно доказать, что существует непрерывный обратный оператор.
Ход рассуждений:
1. Находим условия, при которых оператор будет фредгольмовым
2. Проверяем альтернативу Фредгольма, а именно,
что не существует нетривиальных решений уравнения Lu=0.
Вот тут и загвоздочка :confused:
Что скажете по поводу применения тут каким-то образом принципа максимума?

vovatroff

Ага, sup|f| входит в норму пространств Гельдера у .
Случаи негладких f при требовании решения из C^{2+alpha} неинтересны.
Ну почему неинтересны? Вот, скажем, f=sqrt(|x|) - негладкая функция,
но вроде непрерывная по Гёльдеру (? alpha=1/2 ?) Т.е. для нее решение u
должно быть тогда класса C^{2.5}(R если я правильно понимаю.
Правда, не факт, что оно будет ограниченным (тут исследовать нужно).
Если f\in C^alpha(R) и отделена от нуля, т.е. f<= -eps<0, то это верно. Думаю, что если f неположительна на R, и f<= -eps<0 вне некоторого отрезка, то, скорее всего, тоже верно. В более общей постановке непонятно. Однако, может, единственность имеется и при более слабом условии: f неположительна на R и в какой-то точке отрицательна.
Для оценки роста u важно поведение f именно на бесконечности, т.е. вне некоторого
отрезка. Уравнение ведь локальное.
А единственность чего? Речь не шла о единственности такого решения, говорилось
лишь о существовании таких решений в любом количестве.
Просто второе линейно независимое решение может оказаться "плохим" на
бесконечности (как часто бывает тогда "хорошее" решение - одно с точн. до мн-ля.
В противном случае будет целое двумерное пространство "хороших" решений (как
в случае незатухающих колебаний, например).

vovatroff

1. Находим условия, при которых оператор будет фредгольмовым
Оператор L - дифференциальный - бывает разве фредгольмовым?
Теоремы Фредгольма для компактных операторов вообще-то справедливы.
Или я чего-то недопонимаю просто?

Hana7725

Ну почему неинтересны? Вот, скажем, f=sqrt(|x|) - негладкая функция,
но вроде непрерывная по Гёльдеру (? alpha=1/2 ?) Т.е. для нее решение u
должно быть тогда класса C^{2.5}(R если я правильно понимаю.

Негладких, имелось в виду не из C^alpha(R). А |x| не принадлежит C^(1/2R поскольку неограниченна, надо тогда уж подправлять на бесконечности.
А единственность чего? Речь не шла о единственности такого решения, говорилось лишь о существовании таких решений в любом количестве.

Единственность в C^{2+alpha}(R в частности, единственность ограниченного решения.

vovatroff

Нужно доказать, что существует непрерывный обратный оператор.
Т.е. вам нужно доказать, что 0 принадлежит резольвентному множеству оператора L.
Но для этого недостаточно просто потребовать отсутствия нетривиальных решений
уравнения Lu=0, т.е. чтобы 0 не было собственным значением оператора L. Этого
требования достаточно для конечномерных и для фредгольмовых операторов.
А у дифференциальных операторов бывает еще и непрерывный спектр, увы.
Когда однородного решения предъявить нельзя, но точка все равно не входит
в резольвентное множество.

Hana7725

Исходная задачка ставилась так:
есть оператор
Lu=u''+cu'+f(x)u
L : C^{2+alpha} -> C^{alpha}
Нужно доказать, что существует непрерывный обратный оператор.

Стоило с этого начинать.
Это подзадачка задачки на доказательство существования решений в виде бегущей волны.
Требуется найти решение в заданном классе функций.

Это что, учебная задача такая? Или диплом? :)
Я тут прикинул, что если f<= -lambda <0, то для ограниченных решений Lu=g справедлива оценка
sup|u|<=lambda^{-1}sup|g|,
причем неулучшаемая. Отсюда следует единственность. Так что ограниченный обратный имеется.
Что скажете по поводу применения тут каким-то образом принципа максимума?

Пусть x0 - точка локального max и u(x0)>0, f(x0)<0. Тогда u''(x0)<=0, u'(x0)=0,
и Lu<=f(x0)u(x0)<0. Противоречие. Аналогично с отрицательными минимумами. Следовательно, sup|u| не достигается ни в какой точке. Что не исключает других возможностей, когда минимум, скажем, нулевой, или решения без локальных экстремумов, вроде arctg(x).
PS Похоже, оценка (и обратимость L) будет и для произвольной c\in C^{alpha}(R).

lenmas

Хренак себе, вы все пытаетесь решить задачу Штурма-Лиувилля на всей прямой :crazy: (На с не обращаем внимания, так как от него можно избавиться домножением на экспоненту). По-моему надо читать какие монографии, даже статьи по этой задаче до сих пор выходят.

sonika

Оператор L - дифференциальный - бывает разве фредгольмовым?

бывает. Если я правильно понимаю, то один из основных результатов теории эллиптических операторов заключается в доказательстве фредгольмовости эллиптических операторов.

Hana7725

Это вроде для краевых задач в ограниченных областях. А во всем пространстве,
скажем, для оператора Лапласа откуда такое будет следовать? Даже если взять одномерный оператор d_x^2: C^{2+alpha}(R) -> C^alpha(R почему он будет фредгольмовым? Если дважды проинтегрировать функцию общего положения из C^alpha(R то она не будет ограничена -> не при надлежит C^{2+alpha}(R).

sonika

Это вроде для краевых задач в ограниченных областях. А во всем пространстве,
скажем, для оператора Лапласа откуда такое будет следовать? Даже если взять одномерный оператор d_x^2: C^{2+alpha}(R) -> C^alpha(R почему он будет фредгольмовым? Если дважды проинтегрировать функцию общего положения из C^alpha(R то она не будет ограничена -> не при надлежит C^{2+alpha}(R).
Извини, я в общей теории не силен. Знаю, что для моей задаче, если существенный спектр не проходит через ноль, то оператор будет фредгольмовым. (с этим я хотел бы разобраться, почему это так).
Скажи, пожалуйста, что такое функция общего положения.

sonika

Это что, учебная задача такая? Или диплом? :)

Я в аспе :)
Там походу наткнулся на этот оператор.

Hana7725

Ну, в данном случае имелось в виду, что ограниченное решение для уравнения u''=g\in C^\aplha(R) будет существовать только при выполнении каких-то условий, которым большинство функций не удовлетворяет. Насколько я помню, для фредгольмовости нужна конечномерность ядра и коядра. Почему здесь коядро будет конечномерным? По-моему, очевидно, что уравнение u''=g не будет иметь ограниченного решения для бесконечномерного подпространства в C^\aplha(R) . Например, g=cos(|x|^(1/n при |x|>1 и g=cos 1 при |x|<1, n=1,2,...

vovatroff

бывает. Если я правильно понимаю, то один из основных результатов теории эллиптических операторов заключается в доказательстве фредгольмовости эллиптических операторов.
Можно дать общее определение фредгольмовости оператора? Просто для сведения.
Краевые эллиптические задачи разрешимы путем сведения к интегральным уравнениям
и далее использованием результатов Фредгольма для интегральных операторов.
Означает ли это фредгольмовость эллиптических операторов?

vovatroff

если существенный спектр не проходит через ноль, то
- либо 0 есть точка дискретного спектра (<=> есть нетрив. решение Lu=0
- либо 0 есть точка из резольвентного множества (т.е. L непрерывно обратим
а это - формально - и есть альтернатива Фредгольма. Так?
Это если я правильно догадываюсь (именно догадываюсь что вы имеете в виду под фредгольмовостью оператора (см. мой предыд. вопрос).

sonika

Можно дать общее определение фредгольмовости оператора? Просто для сведения.

Оператор называется фредгольмовым, если для него выполнена альтернатива Фредгольма.
Краевые эллиптические задачи разрешимы путем сведения к интегральным уравнениям
и далее использованием результатов Фредгольма для интегральных операторов.
Означает ли это фредгольмовость эллиптических операторов?

Я не знаю эту теорию, сори. Всё что слышал, это что
один из основных результатов теории эллиптических операторов заключается в доказательстве фредгольмовости эллиптических операторов.

Hana7725

Как я уже говорил, линейный оператор из одного банахова пространства в другое фредгольмов, если размерность ядра и коядра конечна. Основные формулировки есть в задачнике Кирилов, Гвишиани.

vovatroff

Как я уже говорил, линейный оператор из одного банахова пространства в другое фредгольмов, если размерность ядра и коядра конечна. Основные формулировки есть в задачнике Кирилов, Гвишиани.
Спасибо, я посмотрю.

vovatroff

Вам Garfild предложил оценку, по-моему, она решает ваш вопрос.
К сожалению, у вас оператор не в гильб. пр-ве рассм-ся, а так
можно было бы вариационными оценками еще воспользоваться.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: