посчет среднего значения подинтегрального выражения

makei

Всем добрый день!
Недавно заинтересовался одной проблемой, в которой камнем предкновения для меня стал один интеграл:

как видно, это посчет среднего значения подинтегрального выражения для всех возможных углов.
Буду очень благодарен за любые советы!

fabio

углы переменные интегрирования же - он у тебя только от размерности зависит

makei

Да, конечно, это функция зависит только от количества синусов и косинусов случайных углов.
Например,
N = 1, F(N) = 1;
N = 2, F(N) = 2/Pi;
...
N = Inf, F(N) = 0;
Идеальным вариантом было бы избавиться от сумм и всех интегралов и получить выражение в элементарных функциях, если это конечно возможно..

fabio

/N можно вытащить из под интеграла

lenmas

Это же явно равенство Парсеваля для конечного тригонометрического ряда
[math]  $$  \sum_{n=1}^Ne^{i\theta_n}  $$  [/math]
P.S. Хотя не, под интегралом стоит на самом деле модуль этого ряда, а не квадрат модуля.
P.P.S. Похоже даже для N=3 вычислить в элементарных (и даже в спец) функциях не удастся (там вылазят интегралы
от полных эллиптических интегралов). Хотя то, что при N->infty это среднее значение сходится к нулю, достаточно просто доказать оценкой <1/sqrt(N).

griz_a

Похоже даже для N=3 вычислить в элементарных (и даже в спец) функциях не удастся (там вылазят интегралы
от полных эллиптических интегралов). Хотя то, что при N->infty это среднее значение сходится к нулю, достаточно просто доказать оценкой <1/sqrt(N).

Определенный интеграл же. Или там трансцендентные неведомые числа?

lenmas

Определенный интеграл же. Или там трансцендентные неведомые числа?
Я так понял, что нужен конечный ответ, а не численный. Типа как предлагалось: при N=1 ответ 1, при N=2 ответ 2/pi.
Написать такой же ответ хотя бы для N=3, или показать, что получается какие-то неведомые ранее интегралы от известных функций. Я при первом повторном интегрировании наткнулся на полный эллиптический интеграл (а там еще надо будет дальше повторно интегрировать после чего решил — ну его нафик! :grin:

makei

понятно, т.е. можно посчитать для каждого N только численно, а так же, после некоторого N использовать приближение ~1/sqrt(N)?

lenmas

Точную асимптотику я не знаю, 1/sqrt(N) — это только оценка сверху. Можно численно пытаться посчитать предел I(N)*sqrt(N) при N->infty.
Может, кто-то еще и посчитает аналитически, я не знаю. Я вот даже для N=3 не смог. Там надо как-то узнать, как посчитать интеграл вида
[math]  $$  \int\limits_0^{2\pi}|a+e^{i\theta}|\,d\theta  $$  [/math]
для каждого a>0.

makei

Есть у меня так же такая идея, как уменьшить количество переменных интегрирования на 1. Несложно привести это выражение к следующему виду:
 [math]$$F(N)=\frac{1}{N}\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{0}^{2\pi}\cdots \int_{0}^{2\pi}\sqrt{2\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=i+1}^{N}\cos(\theta_i-\theta_j)+N}~d\theta_1\cdots d\theta_N$$[/math]
поскольку все углы случайны, то можно зафиксировать один угол [math]$$\theta_1=0$$[/math] и все остальные углы считать от него. Для N=3 получится следующее:
 [math]$$F(3)=\frac{1}{3}\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2(\cos x+\cos y+\cos (x-y+3}~dy$$[/math]
где [math]$$x=\theta_1-\theta_2$$[/math], [math]$$y=\theta_1-\theta_3$$[/math]

lenmas

Да, ты прав, но интеграл двойной непонятно как считать :(

dragomir83

Очевидно, что даже в простейшем случае N=3 возникают уже эллиптические интегралы, так что в элементарных функциях взять этО даже не пытайся. :(
имхо

Irina_Afanaseva

предкновения
преткновение — от слова ткнуться

Irina_Afanaseva

+N
должно быть под корнем + N^2

lenmas

должно быть под корнем + N^2
По-моему, вроде все-таки N (так как N слагаемых в сумме).

incwizitor

преткновение — от слова ткнуться
high level:grin:
подиынтегрального
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: