Компактность множества, состоящего из точек графиков семейства ф-ций

lena1978

Есть компакт в C([0,1], R^n). Объединим графики всех функций из этого компакта, получим компакт в [0,1]xR^n. На что лучше сослаться, чтоб не объяснять?

tester1

На что лучше сослаться, чтоб не объяснять?
На то, что непрерывный образ компакта - компакт. Сейчас напишу набросок рассуждения.

Sergey79

пользуясь случаем спрошу: а правда, что нет определения множества, есть только описание? Сегодня в интернете прочитал.

tester1

не, чо-та не осилил я, сорри :) сходу не получилось нормального рассуждения, всё какие-то переформулировки дурацкие.
моя идея была рассмотреть для наглядности n=1, потом заметить, что график непрерывной на отрезке функции есть компакт, потом рассмотреть метрическое (по метрике Хаусдорфа) пространство компактов на плоскости, потом показать, что отображение, ставящее функции в соответствие её график, непрерывно, и тогда образ исходного компакта есть компакт в пространстве компактов, но тут-то я и понял, что это только переформулировка, кажется.

tester1

пользуясь случаем спрошу: а правда, что нет определения множества, есть только описание? Сегодня в интернете прочитал.
определение - это придание смысла новому слову, используя слова, смысл которых считается известным. т.е. выражение смысла нового понятия через смыслы базовых.
если множество принять за базовое понятие - то не будет для него определения. зато будут аксиомы, которым должны подчиняться множества. и тогда множества - это всё то, что удовлетворяет этим аксиомам.
а если принять за базовое понятие не множество, а что-то другое, тогда для множества вполне может быть определение

vodnik2

Я бы сказал, "очевидно из свойств равномерно сходящихся последовательностей"
Ниже ""без ограничения общности" означает "можно перейти к подпоследовательности".
Докажем, что у любой последовательности точек (x_n, f_n(x_n x\in[0,1], f_n \in F (где F - данное компактное семейство функций из объединения графиков найдется предельная точка.
Поскольку отрезок компактен, то у аргументов есть предельная точка x'. Без ограничения общности считаем, что x_n-> x'. Опять без ограничения общности считаем, что f_n -> f' \in F (поскольку F - компакт). Из свойств равномерной сходимости получаем (x_n, f_n(x_n -> (x', f'(x') ) \in [0,1] \times F([0,1]]) .

lena1978

рассуждение простое, ага, но расписывать не хотелось, а "очевидно" тоже не всем.
но у тебя вроде и компактненько так получилсь, наверно буду писать. спасибо)

lena1978

есть теорема про замкнутость множества, полученного объединением (в подстилающем пространстве) бикомпактов из бикомпактного по метрике Хаусдорфа семейства (бикомпактного множества в гиперпространстве бикомпактов). даже не по метрике Хаусдорфа, а в топологии Виеториса (эту топологию как раз порождает метрика Хаусдорфа, если подстилающее пространство метрическое). т.е. всё работает даже в случае, если метрики Хаусдорфа нет. от подстилающего пространства метризуемость не требуется, нужна только регулярность.
но не хочется на ровном месте так материться. хотя теорема тоже не сложная)

tester1

можно тогда привести два доказательства таким образом:
Замкнутость следует из теоремы (ссылка на учебник ограниченность компактного семейства следует из его вполне ограниченности. значит, объединение графиков замкнуто и ограниченно в [0,1]xR^n, и поэтому компактно.
впрочем, можно компактность объединения графиков показать и без отсылки к теореме (ссылка на учебник). В самом деле, [далее рассуждение, которое привёл ]
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: