[функан] Привести пример подпространства нормированного пространства

wolf0897

Привести примеры:
а) ЗАМКНУТОГО подпространства нормированного пространства
б) НЕзамкнутого подпространства нормированного пространства
UPD: Всем спасибо. Это была одна из задач на зачете. Отсутствие математической фантазии попытаюсь оправдать тем, что остальные задачи решил сам, семинарист - Серебряков... и я механик).

Dosperato

Чаще подпространством называют замкнутое линейное подмножество.
Но как примеры можно взять любое конечномерное подпространство конечномерного пространства.
Ну а незамкнутость... ну например, подпространство непрерывных ограниченных функций в L^2, там какой-нибудь [math]$\begin{cases} 0, x \leq 0 \\ x^n, 0 \leq x \leq 1 \\ 1, 1 \leq x \end{cases}$[/math] стремится к разрывной функции хевисайда.

Dosperato

ахнуда, L2 на отрезке [0,1] надо взять и последовательность — просто x^n, сходится к разрывной. Ну либо в том примере 1 поправить на что-нибудь сходящееся.

svetik5623190

вопросы очень простые :( раньше такие вещи у прохожих на мехмате спрашивали.
Нормированное пространство --- пространство C[0,1] всех непрерывных на отрезке [0,1] функций, норма стандартная равномерная (чебышёвская): норма функции равна супремуму её модуля.
а) ЗАМКНУТОГО подпространства нормированного пространства
Любое одномерное подпространство, т.е. линейная оболочка любого вектора, например тождественной единицы.
L={ f : существует такое число C, что f(x)=C для всех x из [0,1] }.
Замкнутость L очевидна, т.к. предел сходящейся последовательности, составленной из постоянных функций, --- это постоянная функция.
Более простой пример --- тривиальное подпространство, состоящее только из нуля (функции, тождественно равной нулю). Его замкнутость тем более очевидна.
б) НЕзамкнутого подпространства нормированного пространства
L= все многочлены на отрезке [0,1]. Поскольку линейная комбинация двух многочленов --- снова многочлен, L является линейным подпространством. По теореме Вейерштрасса замыкание L равно всему C[0,1]. Кроме того, C[0,1] не совпадает с L, т.к. на отрезке [0,1] существуют непрерывные функции, отличные от многочлена. Значит, L не совпадает со своим замыканием и поэтому не замкнуто.
добавление: теорема Вейерштрасса утверждает, что для любой непрерывной на отрезке [0,1] функции существует последовательность многочленов, которая к этой функции равномерно сходится.

lena1978

существуют непрерывные функции, отличные от многочлена
это выдумки математиков

romanenkoroman1

с замкнутыми уже вроде объяснили
незамкнутое:
берём пространство L2 всех действительных последовательностей с конечной суммой квадратов. В нем берём подпространство F финитных последовтельностей - у которых конечное число ненулевых эл-тов. Замыкание F - это L2, но F не равно L2.

svetik5623190

это выдумки математиков
синус и экспонента давно стали чисто математическими абстракциями?

lena1978

с самого начала
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: